Diofant.ru:: Список задач для тренировки ума и продления жизни.

Задачи: Математика

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)

Пред. 1 2 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 24 25 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию

+ЗАДАЧА 711. Равные площади

Задачу решили: 22

всего попыток: 101

Задача опубликована: 12.03.12 08:00

Прислал: Timur

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

, планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

0Vlas

Через точку $A$ на окружности единичного радиуса (r=1) проведена прямая $l$ на расстоянии $\frac{1}{2}$ от ее центра $O$ . На прямой $l$ вне окружности и слева от точки $A$ отметим на расстоянии $n_i$ от нее точку $B_i$ , а на расстоянии $m_i$ слева от точки $B_i$ - точку $C_i$ и проведем через них окружности с центром в т. $O$ так, что получим три различные концентричные окружности (см. рис.). Через каждую точку проведем касательную к окружности на которой она лежит так, что пересечение этих касательных образуют треугольник $T_i=D_i E_i F_i$ .

Из двух прямых, которые можно провести через точку на окружности на данном расстоянии от ее центра - рассматривается только одна из них. Из двух лучей, на которые окружность делит эту прямую, точки откладываются только на одном. Так, как это показано на рисунке.

Если $n_k$ и $m_k$ натуральные числа, существует $k$ точек $B_k$ и соответствующих им точек $C_k$ таких, что площади всех треугольников $T_k$ равны, причем $S( T_k )$ $=18480$ . Найдите все такие точки $B_k$ , в ответе укажите сумму соответствующих им $n_k$ .

+ЗАДАЧА 714. Сумма двух чисел и факториалы

Задачу решили: 78

всего попыток: 173

Задача опубликована: 19.03.12 08:00

Прислал: Vkorsukov

Источник: По мотивам задачи 437 (Информатика)

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 5

Лучшее решение:

0Vlas

Пусть N! обозначает число равное произведению всех чисел от 1 до N. Будем считать, что 0!=1. Удалим из ряда натуральных чисел все числа у которых сумма факториалов их цифр не равна 111. Последним оставшимся числом будет число состоящее из 111 единиц. А чему равна сумма двух первых оставшихся чисел?

+ЗАДАЧА 718. Всех поровну

Задачу решили: 113

всего попыток: 177

Задача опубликована: 28.03.12 08:00

Прислал: katalama

Источник: Всесоюзная математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

AStr

Каждый урок учитель опрашивает 9 или, если успевает, 10 учеников. Какое минимальное число уроков должно пройти, чтобы все ученики были опрошены одинаковое число раз, если в классе 33 ученика?

+ЗАДАЧА 721. Число в середине

Задачу решили: 40

всего попыток: 293

Задача опубликована: 04.04.12 08:00

Прислал: katalama

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

0Vlas

Найдите три средних цифры числа (10⁶⁰⁴+1)²⁰¹².

+ЗАДАЧА 740. Вписываем окружности

Задачу решили: 52

всего попыток: 106

Задача опубликована: 22.05.12 08:00

Прислал: Timur

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

, планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Vkorsukov

В треугольник ABC со сторонами AB=62, BC=962, AC=960, будем вписывать n окружностей одинакового радиуса (n от 1 до бесконечности, натуральное) так, что все они касаются стороны AC, соседних окружностей, а крайние окружности касаются сторон AB и BC соответственно. (см.рис.). Существует конечная последовательность k натуральных чисел a_i {a₁,a₂,a₃,...,a_k} таких, что если вписывать a_i окружностей в данный треугольник, у полученных окружностей радиусы будут натуральными числами. Найдите эту последовательность. В ответе укажите сумму всех ее членов .

+ЗАДАЧА 765. Подмножества с данной суммой

Задачу решили: 75

всего попыток: 113

Задача опубликована: 18.07.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

levvol

Найдите количество 11-элементных подмножеств множества {1, 2, ... , 23}, сумма элементов которых равна 194.

+ЗАДАЧА 767. Выпуклая функция

Задачу решили: 38

всего попыток: 295

Задача опубликована: 23.07.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

zmerch

Найдите наименьшее натуральное n, такое что существует функция f:{1,2,...,20} → {1,2,...,n}, удовлетворяющая следующему условию: 2·f(k+1)<f(k)+f(k+2), k=1,2,...,18.

+ЗАДАЧА 778. Суммы цифр квадратов

Задачу решили: 39

всего попыток: 115

Задача опубликована: 17.08.12 08:00

Прислал: TALMON

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 4

Лучшее решение:

nellyk

Рассмотрим монотонно возрастающую последовательность всех натуральных чисел, которые являются суммой цифр квадрата хотя бы одного натурального числа (в десятичной системе счисления).

Чему равен миллионный член этой последовательности?

+ЗАДАЧА 780. Школьники на экзамене

Задачу решили: 48

всего попыток: 355

Задача опубликована: 22.08.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 1

Лучшее решение:

Sam777e

На экзамене 16 школьников решали 30 задач. Каждый ученик верно решил не более 15 задач, а каждую задачу решило не менее 8 школьников. При этом для любой пары школьников количество задач, решенных ими обоими, одинаково и равно n. Найдите n.

+ЗАДАЧА 800. Собака на привязи

Задачу решили: 179

всего попыток: 282

Задача опубликована: 08.10.12 08:00

Прислал: kolkingen

Источник: Кенгуру-задачник

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

, планиметрия