Diofant.ru:: Список задач для тренировки ума и продления жизни.

Задачи: Математика

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)

Пред. 1 2 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ... 39 40 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию

+ЗАДАЧА 784. Бесконечный лес

Задачу решили: 55

всего попыток: 659

Задача опубликована: 31.08.12 08:00

Прислал: TALMON

Источник: Израильская книга "Миспар хазак" ("сильное чи...

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 1

Лучшее решение:

Angelina

В одном плоском лесу есть бесконечно много деревьев. Расстояние между любыми двумя деревьями - целое число метров.

Рассмотрим три дерева, стояших в точках A, B и C.

Какое минимально возможное положительное значение угла ABC в градусах?

+ЗАДАЧА 787. Треугольник и окружность

Задачу решили: 35

всего попыток: 79

Задача опубликована: 07.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 13

Лучшее решение:

zmerch

В треугольнике ABC

$\angle ABC < 90^\circ, \quad AB = 15, \quad BC = 27.$

Через середину M стороны AC провели прямую l перпендикулярно прямой BC. Прямая l пересекает окружность с центром в точке A и проходящую через точку M в точке $P(\ne M)$ . Рассмотрим окружность, проходящую через точки B и M, центр O которой лежит с точкой A по разные стороны от прямой BC и находится на расстоянии 3 от BC.

Обозначим пересечение этой окружности с прямой l за Q. Найдите площадь треугольника OPM, если PQ = 30.

+ЗАДАЧА 793. Квадратичные иррациональности

Задачу решили: 43

всего попыток: 112

Задача опубликована: 21.09.12 08:00

Прислал: bbny

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 7

Лучшее решение:

Sam777e

Подмножество S действительных чисел строится следующим образом:

1. Число 1 принадлежит S

2. Для любой пары чисел a и b из S числа a+b, a-b, a*b, a/b (b ≠ 0), sqrt(a) (a >= 0) принадлежат S

Теперь для каждого числа из S определим ранг (целое неотрицательное число):

Будем говорить, что числа -1, 0 и 1 имеют ранг 0 в S, числа ранга k и ниже образуют подмножество S_k множества S, а числа, получаемые из пар чисел S_k пятью вышеуказанными бинарными и унарными операциями и не принадлежащие S_k, имеют ранг k+1.

Т.е. ранг - это минимальный номер шага, на котором мы можем получить число из исходного множества S₀ = {-1,0,1}

Найдите ранг числа

+ЗАДАЧА 794. Касающиеся окружности

Задачу решили: 26

всего попыток: 91

Задача опубликована: 24.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 3

Лучшее решение:

Vkorsukov

Описанная окружность $O$ треугольника $ABC$ касается окружности $O'$ в точке $A$ . Пусть прямая $AB$ пересекает окружность $O'$ в точке $D(\ne A)$ ; прямая $BC$ пересекает окружность $O'$ в точке $E$ , лежащей с точкой $C$ по разные стороны от прямой $AD$ , и точке $F$ . Касательная к окружности $O$ в точке $B$ пересекает отрезок $DF$ в точке $K$ , прямая $CD$ пересекает окружность $O'$ в точке $L(\ne D)$ . Найдите величину (в градусах) $\angle CAB$ , если $\angle CFA = 38^\circ$ , $\angle DKB = 47^\circ$ , $\angle CLA = 60^\circ$ .

+ЗАДАЧА 797. Пат коню

Задачу решили: 57

всего попыток: 94

Задача опубликована: 01.10.12 08:00

Прислал: Vkorsukov

Источник: Фольклор

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: шахматы

решать >>

Комментарии: 2

Лучшее решение:

bbny

Если шахматному коню запретить дважды вставать на одно и тоже поле, то можно найти такое начальное положение коня, что через три хода он будет запатован (у него не будет возможных ходов). Например, поместим коня на поле f2, тогда после ходов 1.Ke4 2.Kg3 3.Kh1 - конь запатован. А можно ли запатовать коня на бесконечной шахматной доске? В ответе укажите минимальное достаточное количество ходов для достижения цели.

+ЗАДАЧА 798. Ровно четыре решения

Задачу решили: 43

всего попыток: 281

Задача опубликована: 03.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Angelina

Пусть $f(x) = x^2 -10x + \frac{p}{2}$ . Найдите такое натуральное $p$ , что уравнение $f \circ f \circ f (x) = f(x)$ имеет ровно 4 различных действительных решения.

+ЗАДАЧА 805. Уравнение в целых числах

Задачу решили: 65

всего попыток: 105

Задача опубликована: 19.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

zmerch

Для натуральных чисел a, b, c справедливо равенство

$\cfrac{a^3}{(b + 3)(c + 3)} + \cfrac{b^3}{(c + 3)(a + 3)} + \cfrac{c^3}{(a + 3)(b + 3)} = 7.$

Найдите значение a + b + c.

+ЗАДАЧА 809. Периодическая последовательность

Задачу решили: 46

всего попыток: 61

Задача опубликована: 29.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

levvol

Последовательность целых чисел $\{a_n\}$ такова, что $a_1 = 1$ , $a_2 = 2$ , и для некоторого натурального k выполняется

$a_{n+k} = a_n, \quad n = 1, 2, \ldots$

Также известно, что последовательность $b_n = a_{n+2} - a_{n+1} + a_n$ обладает следующим свойством

$b_{n+1} = \cfrac{1 + b_n^2}{2},\quad n = 1, 2, \ldots$

Найдите значение $\sum \limits_{n = 1} ^{60} a_n$ .

+ЗАДАЧА 812. Секущая и окружности

Задачу решили: 29

всего попыток: 35

Задача опубликована: 05.11.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Angelina

Вне окружности $\omega$ с центром O выбрана точка P. Из точек пересечения прямой PO и окружности $\omega$ , дальнюю от P точку обозначим за A, AP = 200. Через точку P проведена прямая l (не проходящая через O), пересекающая $\omega$ в точках B и C, ближней и дальней от P соответственно. Описанная окружность треугольника ABO пересекается с l в точке $D(\ne B)$ , а описанная окружность треугольника ACO пересекается с l в точке $E(\ne C)$ , причем E лежит между точками B и C, AD = 250, AE = 90. Найдите радиус окружности $\omega$ .