Среди X монет одна фальшивая (более лёгкая). Известно, что её заведомо можно найти не более, чем за 100 взвешиваний на чашечных весах без гирь, при этом каждую монету нельзя взвешивать более двух раз. Найдите наибольшее значение X.

В барабане револьвера шесть камор (гнезд для патронов). Все они пусты. Поручик Ржевский вставляет два патрона в две смежные каморы, вращает барабан револьвера и, приставив его к своему лбу, нажимает на курок. Слышен щелчок. Теперь очередь корнета Оболенского. Перед тем как нажать курок у него есть выбор: повернуть барабан револьвера или оставить все как есть. Что для него лучше?  В ответе представьте абсолютную величину разности двух вероятностей выжить для корнета Оболенского, если он  повернет барабан, не будет поворачивать барабан.

Барабан револьвера  вращается лишь в одну сторону, после каждого взвода курка барабан поворачивается автоматически. 

В одном плоском лесу есть бесконечно много деревьев. Расстояние между любыми двумя деревьями - целое число метров.

Рассмотрим три дерева, стояших в точках A, B и C.

Какое минимально возможное положительное значение угла ABC в градусах?

В треугольнике ABC

Через середину M стороны AC провели прямую l перпендикулярно прямой BC. Прямая l пересекает окружность с центром в точке A и проходящую через точку M в точке . Рассмотрим окружность, проходящую через точки B и M, центр O которой лежит с точкой A по разные стороны от прямой BC и находится на расстоянии 3 от BC.

Обозначим пересечение этой окружности с прямой l за Q. Найдите площадь треугольника OPM, если PQ = 30.

Описанная окружность  треугольника  касается окружности  в точке . Пусть прямая  пересекает окружность  в точке ; прямая  пересекает окружность  в точке , лежащей с точкой  по разные стороны от прямой , и точке . Касательная к окружности  в точке  пересекает отрезок  в точке , прямая  пересекает окружность  в точке . Найдите величину (в градусах) , если , , .

Если шахматному коню запретить дважды вставать на одно и тоже поле, то можно найти такое начальное положение коня, что через три хода он будет запатован (у него не будет возможных ходов). Например, поместим коня на поле f2, тогда после ходов 1.Ke4 2.Kg3 3.Kh1 - конь запатован. А можно ли запатовать коня на бесконечной шахматной доске? В ответе укажите минимальное достаточное количество ходов для достижения цели.

Вне окружности  с центром O выбрана точка P. Из точек пересечения прямой PO и окружности , дальнюю от P точку обозначим за A, AP = 200. Через точку P проведена прямая l (не проходящая через O), пересекающая в точках B и C, ближней и дальней от P соответственно. Описанная окружность треугольника ABO пересекается с l в точке , а описанная окружность треугольника ACO пересекается с l в точке , причем E лежит между точками B и C, AD = 250, AE = 90. Найдите радиус окружности .

В отряде восемь бойцов. Каждую ночь трое уходят в разведку, причём, никакие двое бойцов не должны ходить в разведку вместе дважды. Найдите максимальное возможное число ночей, в которые отряд может посылать разведчиков.

Петя с Васей изучили правила игры в шахматы и стали часто играть между собой. В одной из сыгранных партий у них случилась позиция, в которой  присутствовали только короли, ладьи и слоны.   А какое  максимальное общее количество фигур могло  быть на доске в этот момент.

Прямая перпендикулярная хорде сегмента, делит хорду в отношении 1:4, а дугу - в отношении 1:2. Найти косинус центрального угла, опирающегося на эту дугу.