Имеется 100 неотличимых по виду шаров, среди которых 51 радиоактивный. При помощи детектора радиоактивности, на который умещается не более двух шаров, и его чувствительность невысока, поэтому он срабатывает только если оба шара активны. За какое минимальное количество тестов можно гарантированно найти все радиоактивные шары?

Десять мудрецов должны встать в шеренгу, при этом слева в шеренге должны стоять мудрецы в белых шляпах, а справа в черных. Всего имеется 5 белых и 5 черных шляп. Мудрецы перед испытанием могут договориться о стратегии. Затем они входят по одному в зал, при этом им одевают шляпы так, что они не знают какого они цвета. Общаться они не могут и, войдя в зал, должны сразу стать на свое место - слева или справа. Придумайте верную стратегию.

Элементы квадратной матрицы 3 на 3 - различные действительные числа. Произведения трёх элементов каждой строки, каждого столбца и каждой большой диагонали равны одному и тому же натуральному числу. Какое минимально возможное значение этого натурального числа?

40 пиратов и капитан делят клад в 100 золотых монет. Пираты хотят получить вместе 80 монет, а капитан хочет получить все. Он предлагает игру. Капитан делит все монеты на 2 кучки, потом на 3 и так далее, пока все кучки не станут равными одной монете. Всего 99 ходов. Если на каком-либо ходе пираты найдут 40 кучек, сумма монет в которых равна 80, то они получают эти деньги. На каком минимальном ходу пираты обязательно получат деньги, как бы ни делил их капитан?

Найдите сумму всех шестизначных чисел, являющихся полными квадратами, и у которых числа, представленные первыми тремя цифрами и последними тремя цифрами, отличаютсю по величине не более чем на единицу.

Алик загадал число от 1 до 2000. Стас может задавать ему вопросы, на которые Алик отвечает "да" илм "нет", но один раз может соврать, но может и не врать. Какое наименьшее число вопросов заведомо достаточно Стасу для угадывания? 

Классный руководитель отправил своих учеников Антона, Бориса, Вадима, Григория и Дмитрия на олимпиаду по математике и предположил, что Антон займет первое место, Борис - второе, Вадим - третье, Григорий - четвертое и Дмитрий - пятое. Оказалось, что он не угадал ни одного правильного места, и ни одной пары следующей непосредственно друг за другом учеников. Учитель математики предположил, что последовательность будет такой: Григорий, Антон, Дмитрий, Вадим, Борис и угадал места двоих учеников и две пары непосредственно следующих друг за другом учеников. Установите верный порядок. В ответе укажите последовательность цифр 1 (соответствует Антону), 2 (соответствует Борису) и т.д. в порядке от первого места до последнего. Например, если бы учитель математики был прав, то ответом было бы число - 41532.

Натуральный ряд записан построчно в виде числовой пирамиды: в первой строке записана 1, во второй строке – следующие два числа 2 и 3, в третьей строке – следующие три числа, и т.д., то есть в n-ой строке записаны n очередных чисел.

Найдите сумму чисел в 123-ой строке этой числовой пирамиды.

Если на лист "тетрадки в клеточку" положить квадрат со стороной 6, то он захватит какую-то фигуру из нескольких целых клеток (например, как показано на рисунке).

Сколько может быть таких неконгруэнтных фигур?

Считаются только максимальные фигуры: если к фигуре можно добавить хотя бы одну целую клетку (быть может), используя поворот и/или сдвиг квадрата по листу, то такая фигура не максимальная. Фигура на рисунке, очевидно, не максимальная. Такие не считаем.

В «подробном» решении следует показать все фигуры, либо как-то ясно их описать (например, используя шахматную терминологию).

Поверхность правильного октаэдра разрезать на как можно меньшее количество равных частей и ими оклеить без просветов и наложений простую (тригональную) бипирамиду. Чему равно количество частей?

Простая (тригональная) бипирамида - это многогранник, состоящий из двух равных правильных тетраэдров, имеющих общую грань.