В квадрате ABCD помечены середины всех 4-х его сторон. Какое минимальное количество линий нужно провести с помощью линейки без делений, чтобы разделить квадрат на 5 равновеликих частей?

На какое наименьшее число частей можно разрезать поверхность правильного тетраэдра так, чтобы оклеить куб без пробелов и наложений?

Сколько различных прямых можно провести через все пары точек, расположенных в узлах квадратной решетки 100х100?

Дан квадрат ABCD. Какое минимальное количество прямых нужно провести с помощью линейки без делений, чтобы разделить его на 5 равновеликих частей?

В ряду стоят несколько книг с разным количеством страниц. Каждая книга состоит из одной или нескольких глав и сшита из 12 одинаковых тетрадей, каждая тетрадь - из нескольких двойных листов, вложенных друг в друга. Если в главе более одной тетради, то все они вложены друг в друга. Первой из вложенных друг в друга тетрадей считается та, в которую вложены все остальные и т.д. Все страницы каждой книги пронумерованы, начиная с 1. Сумма номеров четырех страниц одного из двойных листов четвертой тетради каждой книги равна 338.

Найдите максимально возможное общее колличество страниц во всех книгах ряда.

На сторонах треугольника АВС отмечены середины сторон точками А₁В₁С₁ (соответственно против вершин АВС). Также произвольно отмечены точки К на отрезке А₁В, М на отрезке АВ₁. Далее проведены отрезки А₁М, В₁К, С₁К, С₁М. Обозначив точку пересечения отрезков А₁М и В₁К через О,видно,что треугольник АВС разделен на 2 четырехугольника и 4 треугольника. Найти разность между суммарной площадью четырехугольников и суммарной площадью треугольников, если известно,что площадь четырехугольника ОА₁СВ₁=15, площадь треугольника АВС=48.

Есть три стержня: A, B и C. На стержень A надеты 8 колец (дисков), наверху самое маленькое, каждое следующее больше предыдущего, а внизу самое большое. Два других стержня пусты. Необходимо перенести все кольца со стержня A на стержень C, пользуясь стержнем B как вспомогательным. В итоге кольца на стержне C должны быть в том же порядке, в котором они исходно находились на стержне A. Брать за один ход несколько колец нельзя. Кроме того, никогда нельзя класть большее кольцо поверх меньшего.

Запрещается переносить кольца между стержнями A и C напрямую.

За один ход перенести кольцо можно только либо с A на B (или обратно с B на A), либо с B на C (или обратно). Сколько ходов потребуется для переноса башни из 8 колец с A на C?

40 пиратов и капитан делят клад в 100 золотых монет. Пираты хотят получить вместе 80 монет, а капитан хочет получить все. Он предлагает игру. Капитан делит все монеты на 2 кучки, потом на 3 и так далее, пока все кучки не станут равными одной монете. Всего 99 ходов. Если на каком-либо ходе пираты найдут 40 кучек, сумма монет в которых равна 80, то они получают эти деньги. На каком минимальном ходу пираты обязательно получат деньги, как бы ни делил их капитан?

Правильный шестиугольник со стороной 6, разбит на единичные треугольники, и отмечены вершины всех единичных треугольников.

Найти число всех правильных шестиугольников, которые можно построить на заданных точках. Три из них изображены на рисунке.

Ковер Серпинского представляет собой бесконечное разбиение квадрата на меньшие квадраты.

Построение выполняется поэтапно: на первом шаге исходный квадрат разбивается на девять равных квадратов и центральный квадрат закрашивается; на втором этапе каждый из оставшихся незакрашенных квадратов разбивается на девять меньших квадратов и центральный квадрат закрашивается, и так до бесконечности. На рисунке показаны разбиения квадрата, которые получаются после первых трех шагов. Сколько закрашенных и незакрашенных квадратов вместе получается на пятом шаге построения ковра Серпинского?