– Все-таки математики — любопытный народ, – сказал полицейский комиссар своей жене. –  Представь себе, на столе в отеле стояли наполненные стаканы. Только в одном из них был яд. Лаборатория могла проверить все стаканы, но проверка стоит времени и денег. Нам на помощь прислали профессора математики. Он подсчитал стаканы, взял первый из них, и мы проверили его первым. Я спросил его, не растратили ли мы одну проверку впустую, но он сказал, что это составляет часть оптимальной процедуры.
– Сколько было стаканов?
– Что-то между одной и двумя сотнями.
Определите точно число стаканов. (Можно проверять содержимое нескольких стаканов, смешивая жидкости из них. Для проверки достаточно всего одной капли жидкости.)

Летиция фон Дорн нанимает моряков на свой корабль. Жалованье офицера составляет 50 экю, боцмана — 25 экю, а матроса — 10 экю. Всего нанято 100 человек. Один офицер командует не более, чем 10 людьми. Сколько нанято офицеров, если всего потрачено 1500 экю?

Перед Вами 25 окопов в ряд. В каком-то из них сидит снайпер. У Вас в руках гранатомёт, позволяющий вдребезги разнести всё содержимое любого из окопов (сам окоп при этом остаётся цел). Сразу после того, как Вы делаете выстрел, снайпер по не известной Вам логике перебегает в соседний окоп (если Вы промазали). Остаться в том же окопе, равно как и перебежать дальше, чем в соседний окоп, он не может. Следующий выстрел. Перебежка. Выстрел. Перебежка. И так далее. Проблема в том, что ни снайпера, ни его перебежек Вы не видите.

Какое минимальное число выстрелов Вам понадобится, чтобы гарантированно ликвидировать снайпера?

Через одну и ту же точку провели 2009 окружностей. На какое наибольшее число частей они могут разбить плоскость?

Машинист ночного экспресса рассказал: "Через полчаса после отправления у нас сломался цилиндр, и нам пришлось ехать со скоростью на 40% меньше прежней. В результате на следующую станцию мы прибыли на час позже, чем полагалось. А вот если бы поломка произошла на 50 км дальше, то мы опоздали бы только на 40 минут." Чему равно (в км) расстояние между станциями?

В парке оборудовано n остановок для детских паровозиков. У каждого паровозика свой маршрут, состоящий из нескольких (необязательно всех) остановок. От каждой остановки до любой другой можно доехать без пересадки, но только на одном паровозике. С каждого паровозика можно пересесть на любой другой, доехав до нужной остановки. Имеется паровозик, чей маршрут состоит ровно из трёх остановок. Найдите максимально возможное значение n.

Найдите число всех пар (m,n) целых чисел таких, что 1 ≤ m ≤ 2009²⁰⁰⁹, 1 ≤ n ≤ 2009²⁰⁰⁹ и |m² + mn − n²| = 1.

У Вас есть три одинаковых пластмассовых шарика, и Вы хотите выяснить, после броска с какого этажа 119-этажного небоскрёба на них начинают появляться трещины. (Например, если сбросить с 20-го, то трещины появляются, а на 19-м ещё нет.) Чтобы определить, появились ли трещины, нужно выйти на улицу и осмотреть шарик. Прежде чем выйти на улицу, Вы можете сбросить с разных этажей все имеющиеся в наличии нетреснувшие шарики. Разрешается выйти на улицу не более, чем n раз. При каком минимальном значении n ещё возможно гарантированно определить, после броска с какого именно этажа шарики начинают покрываются трещинами. Учтите, что шарик может покрыться трещинами и при падении с первого этажа, а может остаться целым и при падении с последнего.

На шахматной доске стоят 64 ладьи (на каждой клетке по ладье). Саша снимает их с доски по очереди, следуя правилу: можно снять любую ладью, которая бьёт нечётное число других оставшихся на доске ладей. Какое максимальное количество ладей удастся снять Саше? (Как обычно, ладьи бьют друг друга и по вертикали, и по горизонтали, но только если между ними нет других ладей.)

На столе лежат 30 одинаковых карточек, у каждой из которых одна сторона чёрная, а другая — красная. Все карточки лежат чёрной стороной вверх. Вам завязывают глаза и переворачивают любые 10 карточек. Задание: не снимая повязки, разделить карточки на две кучки так, чтобы в каждой из них было одно и то же число карточек, лежащих красной стороной вверх. (На ощупь стороны карточек абсолютно одинаковы. Рвать или резать карточки нельзя.)