На шахматной доске n на n расставлены n² ферзей n различных цветов, по n ферзей каждого цвета. Каждый ферзь стоит на отдельной клетке, и ни один ферзь не стоит ни на той же горизонтали, ни на той же вертикали, ни на той же диагонали (большой или маленькой) что другой ферзь того же цвета. На рисунке показан пример такой расстановки ферзей для n=5:

Найдите 4 наименьших натуральных числа n, для которых это возможно. Укажите в ответе их сумму.

На доске 5x5 расставлены 25 шашек реверси. За один ход разрешено перевернуть любую шашку и все соседние с ней (по стороне). Перевернутая шашка имеет другой цвет.

Вначале все шашки белые. За какое наименьшее число ходов удастся получить позицию с одной чёрной шашкой?

Как разрезать правильный пятиугольник на 4 треугольника так, чтобы из них можно было составить равнобедренную трапецию?

Обозначим:
S₁ = (1 ∧ 1000) + (2 ∧ 999) + (3 ∧ 998) + . . . + (1000 ∧ 1),
где a ∧ b означает логическое умножение a и b. Оба операнда представляются в двоичной системе счисления и рассматриваются справа налево. Каждый двоичный разряд результата операции равен единице, если соответствующие разряды обоих операндов равны единице, и нулю в противном случае.

Например:
11 ∧ 6 = 1011₂ ∧ 110₂ = 10₂ = 2.

Также обозначим:
S₂ = (1 ∨ 1000) + (2 ∨ 999) + (3 ∨ 998) + . . . + (1000 ∨ 1),
где a ∨ b означает логическое сложение a и b. Оба операнда представляются в двоичной системе счисления и рассматриваются справа налево. Каждый двоичный разряд результата операции равен единице, если соответствующий разряд хотя бы одного из операндов равен единице, и нулю в противном случае.

Например:
9 ∨ 3 = 1001₂ ∨ 11₂ = 1011₂ = 11.

Найдите сумму S₁ + S₂.

Поверхность правильного тетраэдра разрезать на части и сложить из них правильный  октаэдр без просветов и наложений. На какое минимальное число частей можно разрезать тетраэдр?

К оси правильно идущих часов приделали 3-ю стрелку, которая движется равномерно в каждый момент времени делит пополам угол между часовой и минутной стрелками. Сколько оборотов сделает 3-я стрелка за сутки, если в полночь все три стрелки совпадают?

Какое число лишнее?

Из бумаги склеили правильный тетраэдр. Затем на его поверхности последовательно сделали n разрезов в форме отрезков прямых, в результате чего она распалась на m частей, которыми удалось оклеить без просветов и наложений 3 одинаковых правильных тетраэдра, не имеющих общих точек. Найдите минимально возможное значение 100m + n.

Замечание: разрезания разрешено чередовать с развёртыванием исходного тетраэдра.

В кружки фигуры, изображенной на рисунке, расставлены натуральные числа от 1 до 49, и в каждом квадрате найдена сумма четырех чисел, расположенных в его вершинах, после чего квадраты с одинаковыми суммами закрашены одним цветом. 

В этой расстановке максимум одинаковых сумм равен числу зеленых клеток, то есть 7. Расставьте эти числа в другом порядке, просуммируйте четверки чисел и раскрасьте квадраты указанным образом. В ответе укажите наибольшее возможное число одноцветных квадратов.

Уточним, рассматриваются только квадраты равные закрашенным.