В центре круглой арены сидит лиса, а на её краю — заяц. Лиса хочет догнать зайца, который мечтает от неё убежать. Оба они могут двигаться с одной и той же максимальной скоростью, позволяющей им обежать всю арену по её краю за одну минуту. Но на этот раз и лиса, и заяц могут бегать по всей арене (ср. с задачей 102). Через сколько секунд лиса догонит зайца, если их стратегии оптимальны? (Если Вы считаете, что лиса не сможет догнать зайца, то введите 0.)

Пояснения: лиса и заяц — точки на круге; на ускорение ограничений нет: желаемую скорость они способны набирать мгновенно.

На полу коридора длиной 120 метров лежат 25 ковровых дорожек общей длиной 600 метров. Каково максимально возможное число кусков пола, не застеленных дорожками?

У Вас есть два одинаковых стеклянных шарика. Вы бросаете их — можно по одному — с разных этажей 36-этажного небоскрёба, чтобы выяснить, на каком этаже они начинают разбиваться от падения. (Например, на пятом уже разбиваются, а на четвёртом еще нет.) Разрешается сделать не более n бросков и разбить оба шарика. Найдите минимальное значение n, при котором ещё возможно гарантированно определить, при броске с какого именно этажа шарики начинают разбиваться. Учтите, что шарик может разбиться и на первом этаже, а может не разбиться и на последнем.

В стране 21 аэропорт. Авиационное сообщение между ними осуществляют несколько авиакомпаний, каждой из которых разрешается совершать любые рейсы между 5 аэропортами. При каком наименьшем числе авиакомпаний можно перелететь из любого аэропорта в любой другой без пересадки?

Окружим Землю вдоль экватора ремнём, так чтобы он плотно прилегал к поверхности по всей длине. Землю будем считать идеальным шаром с радиусом 6 400 000 метров. Увеличим длину ремня на 1 метр. Теперь возьмём за одну точку ремня и натянем его так, чтобы ремень плотно прилегал к противоположной точке экватора, в результате точка, за которую мы потянули, поднимется над экватором на некоторую высоту. Чему будет равна эта высота? В ответе укажите ближайшее целое число метров. 

Среди участников шахматного турнира юношей было в 7 раз больше, чем девушек, и они вместе набрали в 3 раза больше очков, чем все девушки. Сколько девушек участвовали в турнире? (Турнир проводился по круговой системе: каждый играл с каждым по две партии — одну белыми, а другую чёрными; за выигрыш партии участник получал одно очко, за ничью — 1/2 очка, за проигрыш — 0.)

Сколько различных решений имеет уравнение log_1/16x=(1/16)^x?

Хозяйка испекла для гостей пирог. К ней может прийти либо 7, либо 8, либо 9 человек. На какое наименьшее число кусков ей нужно заранее разрезать пирог так, чтобы его можно было поделить поровну и между семью, и между восемью, и между девятью гостями?

Перед двумя игроками кучка из 111 спичек. Каждый из них своим ходом берёт из неё от 1 до 11 спичек — любое число на своё усмотрение. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Сколько спичек должен взять первый игрок в начале игры, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока?

На билете лотереи имеется 60 пустых клеток. Участник лотереи записывает в каждую клетку билета по одному числу от 1 до 60 без повторений. (Билет, заполненный с повторениями, считается недействительным.)  Организаторы лотереи по тем же правилам заполняют свой билет–эталон. Выигрывают те билеты, у  которых хотя бы в одной клетке записано то же число, что и в той же клетке билета–эталона. Какое наименьшее число билетов должен заполнить участник лотереи, чтобы обеспечить себе выигрыш независимо от того, как будет заполнен билет–эталон?