У Вас есть 8 одинаковых по размеру и внешнему виду шариков, среди которых 4 алюминиевых и 4 дюралевых. Различить их можно только по весу. За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь Вам удастся найти среди них два шарика, сделанных из разных металлов? (Массы всех шариков из одного и того же металла совпадают.)

Эта шахматная позиция возникла из начальной после четвёртого хода чёрных. Как именно? В ответе необходимо указать все ходы белых и чёрных фигур.

Футбольный мяч сшит из пятиугольников и шестиугольников, длины всех сторон которых одинаковы. Все многоугольники сшиваются сторона к стороне так, что к каждой вершине примыкают два шестиугольника и один пятиугольник. Среди пятиугольников есть белые и чёрные. Известно, что каждый шестиугольник примыкает хотя бы к одному чёрному пятиугольнику. Найдите наименьшее число чёрных пятиугольников.

Площадь сечения куба, которое представляет собой правильный шестиугольник, равна √3. Найдите площадь полной поверхности куба.

Команда из 25 школьников участвует следующем конкурсе. Каждому из них надевают кепку одного из трёх заранее известных цветов так, что каждый видит кепки своих друзей, но не видит своей. После этого каждый школьник пишет на карточке свою фамилию и предполагаемый цвет своей кепки (подглядывать, что пишут другие, нельзя). Команда получает столько очков, сколько было сдано карточек с правильными ответами. Какое наибольшее число очков может гарантированно обеспечить себе команда, если школьники заранее договорятся о своих действиях?

В ряд слева направо были выставлены гирьки массами 1 г, 2 г, …, 13 г. Из них осталось только семь подряд стоящих, а остальные шесть гирек потеряны. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах можно определить массы оставшихся гирек?

Жили были три поросёнка. Один из них всегда говорит правду, другой всегда врёт, а третий — дипломат: может и правду сказать, и соврать. Но неизвестно, кто есть кто. Они же, как водится в таких задачах, всё знают друг про друга. Какое наименьшее число вопросов типа "да–нет" нужно задать, чтобы наверняка узнать, кто есть кто? Каждый вопрос можно задавать любому (но только одному!) поросёнку.

Вася записал в тетрадке числа 1, 2, 3, ..., 11. Вася и Петя по очереди (начинает Вася) стирают по три любых числа до тех пор, пока не останется два числа. Вася выигрывает у Пети количество монеток, равное разности этих двух чисел. Какой максимальный выигрыш может обеспечить себе Вася при правильной стратегии обоих игроков?

Отец в завещании оставил своим пяти сыновьям разного возраста 10 коров. При этом он указал правило, как делить это наследство. А именно, сначала старший сын предлагает свою схему делёжки. Происходит голосование с участием автора. Если большинство отвергает предложенную схему, то автор, не получив ничего, в дальнейшем действии не участвует. Попытка переходит к следующему по старшинству. И так далее. Какое наибольшее число коров сможет получить старший сын? (Каждый голосует исходя из своей личной выгоды и уверен, что так же будут поступать все другие.)

Есть весы, показывающие точный вес, и 6 одинаковых на вид монет, одна из которых фальшивая: её вес отличается от веса настоящей монеты (веса настоящих монет одинаковы). За какое наименьшее число взвешиваний можно наверняка определить вес настоящей монеты и вес фальшивой?