При последовательном подбрасывании монеты, после каждого броска сравнивают количество ранее выпавших орлов и решек и подсчитывают сколько раз эти количества совпадали. Например, если монета выпадала так: ОРОРРРР (О - орел, Р - решка), то количество таких совпадений равно 2, а если РРРРОРОР, то количество совпадений равно 0. Пусть n - это количество бросков монеты, а F(n) это среднее количество совпадений (или математическое ожидание количества совпадений).

Тогда:

F(1) = 0/2 = 0,
F(2) = 2/4 = 0.5
F(3) = 4/8= 0.5
F(4) = 14/16= 0.875

Найдите минимальное n при котором F(n) будет больше или равно 3

Некая компания предложила 350 своим служащим выполнить сверхурочную работу, причем каждому мужчине предлагалось в виде вознаграждения 1000 рублей, а каждой женщине 815 рублей. Женщины все согласились с этим предложением, а часть мужчин отказалась. При подсчёте оказалось, что если бы в компании были только одни женщины, то общая сумма вознаграждения была такой же. Какова сумма вознаграждения, выплаченного всем женщинам?

В некотором заповеднике 10 львов и 15 тигров стали поедать друг друга (львы тигров, тигры львов). Лев насыщается при поедании 3-х тигров, а тигр насыщается при поедании 2-х львов. Какое наибольшее количество хищников насытятся?

Найдите количество частей, на которые разбивается пятимерное вещественное пространство гиперплоскостями

x₁=0, x₂=0, x₃=0, x₄=0, x₅=0,
x₁=1, x₂=1, x₃=1, x₄=1, x₅=1,
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1,
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2.

В правильном шестиугольнике со стороной 3 нарисовали сетку из единичных равносторонних треугольников (смотри рисунок).

Художник время от времени подходит к рисунку с шестиугольником, окунает кисть в банку с краской и закрашивает по линиям сетки весь контур одного равностороннего треугольника любого размера. При этом контур очередного закрашиваемого треугольника может проходить по каким-то ранее закрашенным местам.

За какое минимальное количество подходов художник может закрасить всю сетку (включая границу шестиугольника)?

На рисунке изображён пример частичного закрашивания сетки после 4-х подходов (исключительно для красоты художник использовал разные цвета).

В качестве решения необходимо предъявить доказательство минимальности того количества подходов, которое вы нашли.

Определить сумму всех натуральных чисел x, для которых число 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + x⁷ является степенью простого числа.

Действительные отличные от нуля числа x, y таковы, что
x * (4^x - 2^y)/(4^x + 2^y) = y * (4^y - 2^x)/(4^y + 2^x). Найти |x|/|y|.

Олимпиада для школьников проходила в двух залах. Ни в одном из залов не было трех тёзок. У 100 учеников было двое тёзок в другом зале. У 144 учеников было хотя бы по одному тёзке в каждом зале. У скольких учеников было ровно по одному тёзке в каждом зале?

4 параллельных  прямых расположены на плоскости одна за другой на одинаковых растояниях. 4 других параллельных  прямых, не параллельных предыдущим прямым, также расположены на той же плоскости одна за другой на одинаковых растояниях. Наконец, третья группа 4-х параллельных  прямых, не параллельных предыдущим, тоже расположены на той же плоскости одна за другой на одинаковых растояниях.

Эти 12 прямых делят плоскость на n областей. Найдите сумму всех возможных значений n.

На гранях кубика написаны все буквы слова "ХОРОШО" - по одной букве на грань (буква О, например, написана 3 раза). Сколько раз в среднем надо бросить кубик, чтобы 6 последовательных бросков дали слово "ХОРОШО"?