Рассмотрим равносторонний треугольник с проведенными в нем медианами, такой как треугольник размера 1 на рисунке:

 
В треугольнике размера 1 можно найти 16 треугольников различной величины, формы, положения и ориентации.
Используя треугольники размера 1 в качестве элементов, можно составить из них треугольники большего размера, такие как треугольник размера 2 на рисунке. В треугольнике размера 2 можно насчитать 104 треугольника различной величины, формы, положения и ориентации.
Легко видеть, что треугольник размера 2 состоит из четырех треугольников размера 1, треугольник размера 3 – из 9 треугольников размера 1, а треугольник размера n - из n² треугольников размера 1.
Обозначим через T(n) количество треугольников различной величины, формы, положения и ориентации, которые можно найти в треугольнике размера n.
Получим:
T(1) = 16,
T(2) = 104

Найдите Т(50).

Сколько существует таких 20-значных чисел, что в их десятичной записи сумма любых трех последовательных цифр не меньше шести, но не превышает одиннадцати?
(Числа не могут начинаться с нуля)

Два отрезка могут не иметь общих точек, могут иметь одну общую точку или бесконечно много общих точек.

Будем говорить, что два отрезка имеют истинную точку пересечения, если они имеют единственную общую точку, и эта точка не является концом ни одного из указанных отрезков.

Положение отрезка на плоскости однозначно определяется координатами его концов. Рассмотрим  три отрезка:

• отрезок L₁ с концами (27, 44) и (12, 32)
• отрезок L₂ с концами (46, 53) и (17, 62)
• отрезок L₃ с концами (46, 70) и (22, 40)

Легко проверить, что отрезки L₂ и L₃ имеют истинную точку пересечения. Один из концов отрезка L₃, а именно точка (22, 40), лежит на отрезке L₁, и поэтому точка пересечения L₁ и L₃ не считается истинной. Отрезки L₁ и L₂ не имеют общих точек. Таким образом, для трех выбранных отрезков мы найдем только одну истинную точку пересечения.

Будем теперь последовательно строить отрезки и подсчитывать их истинные точки пересечения. Чтобы построить n отрезков, нам нужно 4n координат их концов. Будем генерировать эти числа случайным образом с помощью алгоритма Блюма - Блюма – Шуба:

s₀ = 290797
s_n+1 = s_n × s_n (mod 50515093)
t_n = s_n (mod 200)

Чтобы построить отрезок, мы будем брать четыре последовательных числа. Например, координаты концов первого отрезка будут следующими:
(t₁, t₂) и (t₃, t₄)
Четыре первых числа, сгенерированные нашим алгоритмом, будут t₁=127, t₂=144, t₃=112, t₄=132, и концы первого отрезка будут иметь координаты (127,144) и (112,132).

Чтобы количество различных истинных точек пересечения превысило одну тысячу, нужно сгенерировать ровно сто отрезков: действительно, первые 99 отрезков будут иметь 992 различных истинных точек пересечения, а первые 100 отрезков – уже 1003.
Сколько необходимо сгенерировать отрезков, чтобы количество различных истинных точек пересечения превысило миллион?

Рассмотрим сколькими способами можно представить натуральное число n  в виде суммы степеней 2, используя при этом каждую из степеней не более чем четырежды. Полученное число обозначим через f(n).

Например, f(11)=7, поскольку число 11 можно записать указанным образом ровно семью способами:

11=8+2+1
11=8+1+1+1
11=4+4+2+1
11=4+4+1+1+1
11=4+2+2+2+1
11=4+2+2+1+1+1
11=2+2+2+2+1+1+1

Найдите f(10¹⁰).

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами 84, 2103,  9657. Заметьте, что, записав три измерения этого параллелепипеда в десятичной системе счисления, мы использовали каждую цифру ровно один раз. Будем  называть такой параллелепипед интересным.
Также заметим, что данный параллелепипед обладает еще одним свойством: его объем равен 1705928364, и запись этого числа тоже содержит каждую цифру ровно один раз. Интересный параллелепипед, обладающий этим свойством, будем называть очень интересным.
Найдите наибольший объем очень интересного параллелепипеда.

Обозначим через f(n) сумму кубов десятичных цифр натурального числа n, например:
f(5)=5³=125
f(27)= 2³+7³=351
f(31321)= 3³+1³+3³+2³+1³=64
Найдите последние девять цифр суммы всех n, не превышающих 10²⁰, для которых f(n) является кубом натурального числа.

Сколько существует 18-значных чисел, в десятичной записи которых
нет нулей,
не более одной единицы,
не более двух двоек,
не более трех троек,
не более четырех четверок,
не более пяти пятерок,
не более шести шестерок,
не более семи семерок,
не более восьми восьмерок,
и не более девяти девяток?

Ленточным прямоугольником толщины d назовем множество таких точек некоторого прямоугольника, расстояние которых до границы указанного прямоугольника не превышает d.

Будем рассматривать только ленточные прямоугольники, стороны и толщина которых выражаются натуральными числами, а удвоенная толщина меньше каждой из сторон.
На рисунке в качестве примера показаны два ленточных прямоугольника. Площадь каждого из них равна 28.

Сколько существует различных ленточных прямоугольников, площадь которых не превышает 1000000?
(Конгруэнтные ленточные прямоугольники следует считать одинаковыми)

Назовем квадратной рамкой плоскую фигуру, представляющую собой квадрат с вырезанным в нем квадратным отверстием, симметричную относительно вертикальной и горизонтальной осей и составленную из единичных квадратов.
Из восьми единичных квадратов можно составить единственную квадратную рамку размером 3х3 с отверстием 1х1 посередине. А из 32 квадратиков можно составить уже две рамки, как показано на рисунке:

Будем говорить, что натуральное число t относится к классу L(n), если из t квадратиков можно составить рамку n способами. Так, t = 8  относится классу L(1), а t = 32 принадлежит классу L(2).
Пусть N(n) – количество чисел t ≤ 1000000, принадлежащих классу L(n), например, N(15) = 832.
Найдите max(N(n)).