Назовем квадратной рамкой плоскую фигуру, представляющую собой квадрат с вырезанным в нем квадратным отверстием, симметричную относительно вертикальной и горизонтальной осей и составленную из единичных квадратов.
Из восьми единичных квадратов можно составить единственную квадратную рамку размером 3х3 с отверстием 1х1 посередине. А из 32 квадратиков можно составить уже две рамки, как показано на рисунке:

Будем говорить, что натуральное число t относится к классу L(n), если из t квадратиков можно составить рамку n способами. Так, t = 8  относится классу L(1), а t = 32 принадлежит классу L(2).
Пусть N(n) – количество чисел t ≤ 1000000, принадлежащих классу L(n), например, N(15) = 832.
Найдите max(N(n)).

Рассмотрим сколькими способами можно представить натуральное число n в виде суммы степеней 2, используя при этом каждую из степеней не более чем дважды. Полученное число обозначим через f(n).
Например, f(10)=5, поскольку существует ровно пять способов выразить число 10 указанным образом:
10 = 8+2 = 8+1+1 = 4+4+2 = 4+4+1+1 = 4+2+2+1+1
Приняв, что f(0)=1, запишем  последовательность рациональных чисел f(n)/f(n-1):
1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/3, 3/2…
В этой последовательности число 2/3 находится на пятом месте, а число 13/17 – на 241-ом.
На каком месте в этой последовательности расположено число 231721/134654?

У каждого из четырех прямоугольных треугольников со сторонами (9,12,15), (12,16,20), (5,12,13) и (12,35,37) длина одного из катетов равна 12. Можно доказать, что других прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной 12 нет. Таким образом, различных прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной 12 существует ровно четыре.
Для какого наименьшего целого числа a количество различных прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной a в точности равно 39062?

Рассмотрим невыпуклый четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BD. В каждой вершине входящая в нее диагональ образует два угла со сторонами четырехугольника.
 

Например, в вершине A это будут углы BAC и CAD. Измерим величину этих восьми углов в градусах. Для некоторых четырехугольников полученные восемь чисел окажутся целыми. Будем называть такие четырехугольники невыпуклыми целыми четырехугольниками. Пример невыпуклого целого четырехугольника легко получить, если расположить точки A, B и C в вершинах правильного треугольника, а точку D в его центре. Другой пример получим, задав CAB=85°, BAD=55°, ABD=15°, CBD=50°, ACB=30°, BCD=25°, ADB=110°, BDC=105°.
Подсчитайте, сколько всего существует различных невыпуклых целых четырехугольников, если подобные четырехугольники считаются одинаковыми.

Рассмотрим три семейства функций:

f_1,n(x,y,z) = xⁿ⁺¹ + yⁿ⁺¹ – zⁿ⁺¹

f_2,n(x,y,z) = (x y + y z + z x)*(x^n-1 + y^n-1 – z^n-1)

f_3,n (x,y,z) = – x y z * (x^n-2 + y^n-2 – z^n-2)

и их сумму:

f_n (x,y,z) = f_1,n (x,y,z) + f_2,n (x,y,z) + f_3,n (x,y,z)

Будем называть (x,y,z) золотой тройкой порядка k, если x, y и z – положительные рациональные числа, представимые в виде правильных дробей со знаменателем, не превышающим k, и существует такое целое n, что f_n (x,y,z) = 0

Обозначим через s(x,y,z) = x + y + z.

Найдите сумму всех различных значений s для золотых троек порядка 50. Результат округлите до ближайшего целого. 

Рассмотрим число 44456656. Заметим, что соседние десятичные цифры в его десятичной записи отличаются не более чем на единицу. Будем называть такие натуральные числа ступенчатыми.
Найдите, сколько существует ступенчатых чисел, не превышающих 10⁴⁰ и содержащих в своей десятичной записи все цифры от 0 до 9.

Рассмотрим делители четырех последовательных натуральных чисел 242, 243, 244 и 245:

Число    Делители
242    1, 2, 11, 22, 121, 242
243    1, 3, 9, 27, 81, 243
244    1, 2, 4, 61, 122, 244
245    1, 5, 7, 35, 49, 245

Обратите внимание, что все эти числа имеют одинаковое количество делителей, а именно шесть.
Найдите количество натуральных чисел n, не превышающих 10⁷, для которых числа n, n+1, n+2 и n+3 имеют одинаковое количество делителей.

Четыре предмета, один из которых белый (Б), а три остальных – черные (Ч), можно сгруппировать семью способами:

(ЧЧЧБ) (Ч,ЧЧБ) (Ч,Ч,ЧБ) (Ч,Ч,Ч,Б) (Ч,ЧЧ,Б) (ЧЧЧ,Б) (ЧЧ,ЧБ)

Обозначим через f(b,w) количество способов, которыми можно сгруппировать множество из b черных и w белых предметов. Так, f(3,1)=7.

Найдите ∑f(60,p), где сумма берется для всех простых p, не превышающих 50.

Сообщение в системе шифрования RSA представляет собой некоторое число m. Если необходимо зашифровать текст, сначала его каким-то известным образом превращают в число, а затем происходит собственно шифрование.

Шифрование осуществляется следующим образом:

• Выбирают два различных простых числа p и q.
• Вычисляют n=pq и φ=(p-1)(q-1). Число n должно быть достаточно велико, чтобы сообщения m попадали в интервал [0,n-1].
• Выбирают целое число e, 1<e<φ, не имеющее общих делителей с φ (gcd(e,φ)=1).
• Из числа m получают зашифрованное сообщение c=m^e mod n (здесь a mod b означает остаток от деления a на b).

Чтобы расшифровать текст, действуют следующим образом:

• Находят число d такое, что ed=1 mod φ
• Для зашифрованного сообщения c, вычисляют m=c^d mod n.

Однако иногда попадаются такие неудачные сочетания e и m, что m^e mod n=m. Будем называть такие сообщения нескрытыми. Необходимо выбирать e таким образом, чтобы нескрытых сообщений было меньше. Например, пусть p=19 и q=37.
Тогда n=19*37=703, и φ=18*36=648.
Если мы выберем e=181, абсолютно все сообщения m (0≤m≤n-1) окажутся нескрытыми, хотя условие gcd(181,648)=1 выполняется. Такой выбор крайне неудачен.
К сожалению, для любого e, выбранного согласно указанным правилам, всегда найдется сколько-то нескрытых сообщений.
Возьмем p=1009 и q=3643. Найдите количество таких e, 1<e<φ(1009,3643),  gcd(e,φ)=1, для которых количество нескрытих сообщений минимально.

Возьмем натуральное число N и разделим его на k равных частей r=N/k. Тогда N = r + r + ... + r. Обозначим через P произведение этих частей: P = r × r × ... × r = r^k. Например, если разделить 11 на пять равных частей (11 = 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2), P окажется равным 2.2⁵ = 51.53632. Обозначим через P_max(N) максимальное значение P, которое можно получить для данного значения N. Оказывается, что для N=11 максимум достигается при k=4: P_max= (11/4)⁴= 14641/256 = 57.19140625. Это число является конечной десятичной дробью. Однако для N=8 максимум достигается при разбиении на три части: P_max= 512/27, и это число не может быть представлено в виде конечной десятичной дроби. Определим функцию D(N) как число десятичных знаков после запятой в P_max(N) для случая, когда P_max(N) представимо конечной десятичной дробью. В случае, когда P_max(N) не может быть представлено в виде конечной десятичной дроби, будем считать, что D(N)=0. Например, D(11)=8, D(8)=0. Для 5 ≤ N ≤ 100 ΣD(N)=1027. Найдите ΣD(N) для 5 ≤ N ≤ 10000.