Пусть ABC – треугольник, внутренние углы которого меньше 120 градусов, и пусть X – некоторая точка внутри треугольника, XA = p, XB = q и XC = r.
Ферма предложил Торричелли найти такое положение X, для которого сумма p + q + r обращается в минимум.
Торричелли удалось доказать, что если на сторонах треугольника ABC построить равносторонние треугольники AOB, BNC и AMC и описать вокруг них окружности, эти окружности пересекутся в общей точке T, лежащей внутри треугольника. Кроме того, он доказал, что точка T (называемая ныне точкой Торричелли-Ферма) минимизирует сумму p + q + r.

Оказывается, что когда сумма p + q + r обращается в минимум, AN = BM = CO = p + q + r, а отрезки AN, BM и CO также пересекаются в точке T.

Если для некоторого треугольника все числа a, b, c, p, q и r оказываются целыми, мы будем называть его треугольником Торричелли. Примером такого треугольника может служить треугольник со сторонами a = 399, b = 455 и c = 511.

Найдите сумму всех различных периметров треугольников Торричелли, не превышающих 300000.

В лазерной физике используют системы зеркал, которые действуют как линии задержки для проходящего лазерного луча. Луч входит в систему, многократно отражается от зеркал и, в конце концов, выходит обратно.

Мы рассмотрим такую линию задержки, имеющую форму эллипса с уравнением 4x² + y²= 100.

В верхней части эллипса сделано отверстие −0.01 ≤ x ≤ +0.01 для входа и выхода луча.

В нашей задаче луч направляется из точки с координатами (0,0;10,1) внутрь эллипса, где испытывает первое отражение в точке (1,4;-9,6),

Луч отражается по обычному закону "угол падения равен углу отражения". Иначе говоря, падающий и отраженный луч образуют с нормалью в точке падения равные углы.

На рисунке слева красной линией показана траектория луча к первым двум точкам отражения. Синим обозначена касательная к эллипсу в первой точке отражения. Наклон касательной в точке эллипса с координатами (x,y) можно найти по формуле: m = −4x/y. Нормаль перпендикулярна касательной в точке падения.

На анимированной картинке справа показаны первые 10 отражений луча.

Какой длины путь проделает луч внутри эллиптической системы задержки? Результат округлите до целого.

На рисунке изображена решетка размером 3x2, состоящая из вертикальных, горизонтальных и наклонных отрезков. Для данной решетка существует 37 прямоугольников, вершины которых лежат на узлах решетки.

Есть пять решеток меньшего размера: 1x1, 2x1, 3x1, 1x2 и 2x2 (каждое из измерений этих решеток не превосходит соответствующего измерения нашей решетки 3x2). Подсчитаем, сколько прямоугольников можно разместить на узлах этих решеток:

1x1: 1
2x1: 4
3x1: 8
1x2: 4
2x2: 18

Сложив все эти числа, получим, что 1+4+8+4+18+37=72 различных прямоугольников можно разместить на узлах решеток 3x2 и меньших.

Сколько различных прямоугольников можно разместить на узлах решеток 300x200 и меньших?

Фигуру, составленную из трех квадратов, имеющих общую сторону, называют тримино. Тримино бывают двух видов: угловое и прямое:

С учетом различных ориентаций можно насчитать шесть видов тримино:

Легко доказать, что при помощи тримино можно покрыть любой прямоугольник m x n, если m x n кратно трем. Например, полоску 2 х 9 можно покрыть 41 способом:

При этом симметричные покрытия мы считали различными.

Сколько существует подобного рода покрытий для прямоугольника 8 х 15?

Рассмотрим равносторонний треугольник с проведенными в нем медианами, такой как треугольник размера 1 на рисунке:

 
В треугольнике размера 1 можно найти 16 треугольников различной величины, формы, положения и ориентации.
Используя треугольники размера 1 в качестве элементов, можно составить из них треугольники большего размера, такие как треугольник размера 2 на рисунке. В треугольнике размера 2 можно насчитать 104 треугольника различной величины, формы, положения и ориентации.
Легко видеть, что треугольник размера 2 состоит из четырех треугольников размера 1, треугольник размера 3 – из 9 треугольников размера 1, а треугольник размера n - из n² треугольников размера 1.
Обозначим через T(n) количество треугольников различной величины, формы, положения и ориентации, которые можно найти в треугольнике размера n.
Получим:
T(1) = 16,
T(2) = 104

Найдите Т(50).

Два отрезка могут не иметь общих точек, могут иметь одну общую точку или бесконечно много общих точек.

Будем говорить, что два отрезка имеют истинную точку пересечения, если они имеют единственную общую точку, и эта точка не является концом ни одного из указанных отрезков.

Положение отрезка на плоскости однозначно определяется координатами его концов. Рассмотрим  три отрезка:

• отрезок L₁ с концами (27, 44) и (12, 32)
• отрезок L₂ с концами (46, 53) и (17, 62)
• отрезок L₃ с концами (46, 70) и (22, 40)

Легко проверить, что отрезки L₂ и L₃ имеют истинную точку пересечения. Один из концов отрезка L₃, а именно точка (22, 40), лежит на отрезке L₁, и поэтому точка пересечения L₁ и L₃ не считается истинной. Отрезки L₁ и L₂ не имеют общих точек. Таким образом, для трех выбранных отрезков мы найдем только одну истинную точку пересечения.

Будем теперь последовательно строить отрезки и подсчитывать их истинные точки пересечения. Чтобы построить n отрезков, нам нужно 4n координат их концов. Будем генерировать эти числа случайным образом с помощью алгоритма Блюма - Блюма – Шуба:

s₀ = 290797
s_n+1 = s_n × s_n (mod 50515093)
t_n = s_n (mod 200)

Чтобы построить отрезок, мы будем брать четыре последовательных числа. Например, координаты концов первого отрезка будут следующими:
(t₁, t₂) и (t₃, t₄)
Четыре первых числа, сгенерированные нашим алгоритмом, будут t₁=127, t₂=144, t₃=112, t₄=132, и концы первого отрезка будут иметь координаты (127,144) и (112,132).

Чтобы количество различных истинных точек пересечения превысило одну тысячу, нужно сгенерировать ровно сто отрезков: действительно, первые 99 отрезков будут иметь 992 различных истинных точек пересечения, а первые 100 отрезков – уже 1003.
Сколько необходимо сгенерировать отрезков, чтобы количество различных истинных точек пересечения превысило миллион?

Ленточным прямоугольником толщины d назовем множество таких точек некоторого прямоугольника, расстояние которых до границы указанного прямоугольника не превышает d.

Будем рассматривать только ленточные прямоугольники, стороны и толщина которых выражаются натуральными числами, а удвоенная толщина меньше каждой из сторон.
На рисунке в качестве примера показаны два ленточных прямоугольника. Площадь каждого из них равна 28.

Сколько существует различных ленточных прямоугольников, площадь которых не превышает 1000000?
(Конгруэнтные ленточные прямоугольники следует считать одинаковыми)

Назовем квадратной рамкой плоскую фигуру, представляющую собой квадрат с вырезанным в нем квадратным отверстием, симметричную относительно вертикальной и горизонтальной осей и составленную из единичных квадратов.
Из восьми единичных квадратов можно составить единственную квадратную рамку размером 3х3 с отверстием 1х1 посередине. А из 32 квадратиков можно составить уже две рамки, как показано на рисунке:

Будем говорить, что натуральное число t относится к классу L(n), если из t квадратиков можно составить рамку n способами. Так, t = 8  относится классу L(1), а t = 32 принадлежит классу L(2).
Пусть N(n) – количество чисел t ≤ 1000000, принадлежащих классу L(n), например, N(15) = 832.
Найдите max(N(n)).

У каждого из четырех прямоугольных треугольников со сторонами (9,12,15), (12,16,20), (5,12,13) и (12,35,37) длина одного из катетов равна 12. Можно доказать, что других прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной 12 нет. Таким образом, различных прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной 12 существует ровно четыре.
Для какого наименьшего целого числа a количество различных прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной a в точности равно 39062?

Рассмотрим невыпуклый четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BD. В каждой вершине входящая в нее диагональ образует два угла со сторонами четырехугольника.
 

Например, в вершине A это будут углы BAC и CAD. Измерим величину этих восьми углов в градусах. Для некоторых четырехугольников полученные восемь чисел окажутся целыми. Будем называть такие четырехугольники невыпуклыми целыми четырехугольниками. Пример невыпуклого целого четырехугольника легко получить, если расположить точки A, B и C в вершинах правильного треугольника, а точку D в его центре. Другой пример получим, задав CAB=85°, BAD=55°, ABD=15°, CBD=50°, ACB=30°, BCD=25°, ADB=110°, BDC=105°.
Подсчитайте, сколько всего существует различных невыпуклых целых четырехугольников, если подобные четырехугольники считаются одинаковыми.