Будем называть k-разложимым натуральное число N, которое можно представить в виде суммы и произведения одного и того же набора из k чисел {a₁, a₂, ... , a_k} :

N = a₁ + a₂ + ... + a_k = a₁ × a₂ × ... × a_k.

Например, число 6 является 3-разложимым:

6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3.

Для каждого k найдем наименьшее k-разложимое число, и выпишем такие числа для k = 2, 3, 4, 5 и 6:

k=2: 4 = 2 × 2 = 2 + 2
k=3: 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3
k=4: 8 = 1 × 1 × 2 × 4 = 1 + 1 + 2 + 4
k=5: 8 = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2
k=6: 12 = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6

Мы видим, что для 2≤k≤6 наибольшее из наименьших k-разложимых чисел равно 12.
Для 2≤k≤30 наибольшее из наименьших k-разложимых чисел равно 48.

Найти наибольшее из наименьших k-разложимых чисел для 2≤k≤12000.

Легко показать, что не существует равносторонних треугольников, у которых и длина сторон, и площадь выражались бы целыми числами. Однако площадь "почти равностороннего" треугольника со сторонами 5-5-6 равна целому числу 12.

Мы будем называть "почти равносторонними" такие треугольники, у которых длины любых двух сторон не отличаются больше, чем на единицу.

Найдите суммарную площадь всех почти равносторонних треугольников, для каждого из которых площадь выражается целым числом, а длины сторон - целые числа, не превышающие одного миллиарда (1 000 000 000).

Клетки шахматной доски размером 8x8 обозначены стандартным способом по горизонтали буквами "a-h" и по вертикали цифрами "1-8". У вас имеются по 8 комплектов каждой буквы и каждой цифры и вы размещаете на каждой клетке одну букву и одну цифру, таким образом, чтобы полученный номер не совпадал со стандартным (должна отличаться или буква или цифра). Найдите количество таких размещений и введите в ответ сумму цифр полученного числа. 

Строка состоит из 33 символов A и B. При этом в каждой подстроке, длина которой больше 9, количество символов A как минимум на 3 больше количества символов B. Сколько таких строк существует?

Квадрат размером 1024 на 1024 клетки складывается относительно вертикали сначала так, чтобы правый край наложился на левый, а затем относительно горизонтали, чтобы нижний край наложился на верхний. Операция продолжается до тех пор, пока не останется одна клетка. Клетки изначально были пронумерованы числами снизу "змейкой": самый нижний ряд - слева направо, второй ряд - справа налево продолжает нумерацию и так далее до самого верха. Какую клетку нужно отметить, чтобы в результате складывания она оказалась на самом верху?

Найти сумму всех натуральных чисел меньших миллиона в записи которых во всех системах счисления с основаниями от 2 до 10 нет подряд идущих двух нулей?

В одной стране, когда население достигло 1 миллиарда, правитель выдал всем жителям порядковые номера от 1 и до 10⁹. В этой стране счастливым считается число 888, поэтому сначала осчастливили тех, у кого номер оказался кратным 888. Затем счастливчиков упорядочили в порядке возрастания номеров и отобрали тех, кто оказался на местах кратных 888. Эту процедуру продолжали до тех пор, пока участников стало меньше 888. Их и объявили суперсчастливчиками. Чему равна сумма изначальных номеров суперсчастливчиков?

Если мы знаем только k членов последовательности, мы не можем однозначно описать следующий ее член с помощью многочленов.
Для примера давайте рассмотрим последовательность кубов натуральных чисел. Она порождается функцией u_n = n³: 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...
Допустим, нам известны только два первых члена последовательности. Руководствуясь принципом "чем проще, тем лучше", мы можем воспользоваться линейной функцией и предсказать, что следующее за 1 и 8 значение будет равно 15. Если мы знаем три члена последовательности, то, пользуясь все тем же принципом простоты, мы можем описать ее квадратичным многочленом.
Обозначим через OP(k, n) n-ый член последовательности, порожденной оптимальным полиномиальным приближением, основанном на знании первых k членов последовательности. Ясно, что значения многочлена OP(k, n) точно совпадут с первыми k членами последовательности, а первым несовпадающим членом (ПНЧ), если есть такой, будет OP(k, k+1); если у многочлена имеется OP(k, n), который при некотором n несовпадает с соответствующим членом последовательности, мы будем называть недостаточным.
Выпишем первые OP для кубической последовательности:
k=1 OP(1, n) = 1 : 1, 1, 1, 1, ...
k=2 OP(2, n) = 7n-6 : 1, 8, 15, ...
k=3 OP(3, n) = 6n²-11n+6 : 1, 8, 27, 58, ...
k=4 OP(4, n) = n³ : 1, 8, 27, 64, 125, ...
Ясно, что для кубической последовательности есть только три недостаточных многочлена.  Их ПНЧ показаны в таблице синим цветом. Вычислив сумму ПНЧ для всех нехороших многочленов, получим  1 + 15 + 58 = 74.
Рассмотрим последовательность, заданную следующим многочленом десятой степени:
u_n  = -n + 2n² - 3n³ + 4n⁴ - 5n⁵ + 6n⁶ - 7n⁷ + 8n⁸ - 9n⁹ + 10n¹⁰
Найдите сумму ПНЧ всех недостаточных многочленов для данной последовательности.

Обозначим через S(A) сумму элементов множества A. Будем называть множество целых положительных чисел особым, если для его любых двух непустых непересекающихся подмножеств B и C выполняются следующие условия:
1) S(B) ≠ S(C), т.е. их суммы элементов не могут быть одинаковы.
2) Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).
Например, множество {3,5,6,7} - особое, а множество {3,4,5,6} не является особым, так как не выполняется первое условие: 3+6 = 4+5.
Найдите количество особых множеств А, содержащих 7 элементов, для которых S(A) ≤ 333.