Функция Эйлера φ(n) определяется так: для любого натурального n>1 её значение равно количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n, по определению φ(1)=1, в частности φ(9)=6 (числа 1, 2, 4, 5, 7, 8 - взаимно просты с числом 9). 

Значение функции φ(87109) = 79180 интересно тем, что оно может быть получено перестановкой цифр в аргументе функции 87109. Найти такое n, 1<n<10⁷, для которого φ(n) является перестановкой n, а разность n-φ(n) максимальна.

Рассмотрим дробь n/d, где n и d - натуральные числа. Если числа n и d - взаимно простые, и n<d, такую дробь называют правильной несократимой.
Если возьмем все правильные несократимые дроби с d ≤  8, и выпишем их в порядке возрастания, то получим следующую последовательность:
1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8
В этом ряду дробь 3/4 - ближайшая справа от 5/7.
Если выписать таким же образом правильные несократимые дроби с d ≤ 1 000 000 000 000 в порядке возрастания, то какой числитель будет у дроби, ближайшей справа от 5/7?

Строку натуральных чисел (1, 3, 5, 2, 4) попробуем упорядочить при помощи специальных перестановок: разделим строку на 2 части (1, 3, 5) и (2, 4), первую строку запишем в обратном порядке и присоединим ко второй, в результате получим (5, 3, 1, 2, 4). Далее действуем также - разбиваем строку на 2 любые части (любая часть может быть пустой), первую часть записываем в обратном порядке и просоединяем ко второй. При помощи перестановок:

(5, 3, 1, 2, 4) = (5, 3, 1, 2, 4) + () -> (4, 2, 1, 3, 5)

(4, 2, 1, 3, 5) = (4, 2, 1, 3) + (5) -> (3, 1, 2, 4, 5)

(3, 1, 2, 4, 5) = (3, 1, 2) + (4, 5) -> (2, 1, 3, 4, 5)

(2, 1, 3, 4, 5) = (2, 1) + (3, 4, 5) -> (1, 2, 3, 4, 5)

За какое минимальное количество перестановок гарантированно можно упорядочить строку чисел от 1 до 100?  

Будем изготавливать из проволоки прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Для этого нам потребуется кусок проволоки длиной не менее 12 см, а из двенадцатисантиметрового куска мы сможем согнуть такой треугольник ровно одним способом. Существует бесконечно много чисел, которые могли бы быть периметром прямоугольного треугольника, например:
12 см: (3,4,5)
24 см: (6,8,10)
30 см: (5,12,13)
36 см: (9,12,15)
40 см: (8,15,17)
48 см: (12,16,20)

С другой стороны, если взять проволоку длиной 20, прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами из нее не согнешь, а из проволоки длиной 120 см можно сделать три разных треугольника:

120 см: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51)
Какова наименьшая длина проволоки, позволяющая сложить из нее ровно 99 прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами?

Сколько нулей в записи числа 2009!?

Число 32 можно представить в виде суммы нескольких двузначных чисел ровно девятью способами:

10 + 22
11 + 21
12 + 20
13 + 19
14 + 18
15 + 17
16 + 16
10 + 10 + 12
10 + 11 + 11

А сколькими способами можно представить число 100 в виде суммы двузначных слагаемых?

Найти количество всех делителей числа 2²⁰⁰⁹, в десятичной записи которых отсутствует цифра ноль.

Найти минимальное 24-значное число a₁a₂a₃...a₂₄, которое удовлетворяет следующим условиям:

a₁ делится на 1;

a₁a₂ делится на 2;

a₁a₂a₃ делится на 3;

...

a₁a₂a₃...a₂₄ делится на 24.

Необходимо разложить 8290 кафельных плиток размера 1x1 на пол размером 68x122, так чтобы в каждой строке и в каждом столбце было четное количество плиток, при этом на одно место можно положить не более одной плитки. Сколько существует способов такой укладки?