Игроку выдается 9 карт и он упорядочивает их по мастям в порядке Пики, Трефы, Бубны, Червы, а внутри масти по старшиству 2, 3,..., 10, В, Д, К, Т. Комбинация называется неубывающей, если младшая карта в следующей масти, не ниже старшей карт в предыдущей масти. Найдите количество неубывающих комбинаций из 9 карт.

Сколько существует различных расстановок 8 ферзей на шахматной доске, таких, что никакие 2 ферзя не бьют друг друга?

Возьмем вещественное число x.
Наилучшим его приближением со знаменателем, не превышающим d, назовем несократимую дробь r/s (s≤d), такую, что у любого рационального числа, лежащего ближе к x, чем r/s, знаменатель будет больше, чем d:
|p/q-x| < |r/s-x| => q>d.
Например, наилучшим приближением числа √13 со знаменателем, не превышающим 20, будет дробь 18/5. А наилучшим приближением того же числа, но со знаменателем, не превышающим 30, будет 101/28.
Найдите сумму знаменателей наилучших приближений √n со знаменателем, не большим, чем 10¹², для всех простых чисел n, не превышающих 100000.

Для некоторых натуральных чисел k можно подобрать такое вещественное число t, чтобы выполнялось равенство
4^t = 2^t + k,
а числа 4^t и 2^t были целыми.
Наименьшее такое k равно двум:
4¹ = 2¹ + 2,
а следующее равно шести:
4^1,5849625... = 2^1,5849625... + 6.

Как мы видим, для некоторых k, например для k=2, t оказывается целым, а для других – нет.
Обозначим через P(m) долю таких k ≤ m, для которых  t – целое. Например, P(6) = 1/2. Ниже приведено несколько значений P(m):

   P(5) = 1/1
   P(10) = 1/2
   P(15) = 2/3
   P(20) = 1/2
   P(25) = 1/2
   P(30) = 2/5
   ...
   P(180) = 1/4
   P(185) = 3/13

Найдите сумму всех m, для которых P(m)=1/7777.

Булеву функцию с булевыми аргументами можно задать при помощи таблицы истинности. Ниже приведены таблицы истинности для трех функций с двумя аргументами: для конъюнкции (AND), для импликации (=>) и для строгой дизъюнкции (XOR).

Подсчитайте, сколько существует различных булевых функций с шестью аргументами τ(a, b, c, d, e, f), для которых выполняется условие
τ(a, b, c, d, e, f) AND τ(b, c, d, e, f, a XOR (b => c)) = 0
при  любых сочетаниях (a, b, c, d, e, f)?

Функция бланманже определена на промежутке [0, 1] следующим образом:
,
Где s(x) – расстояние между x и ближайшим к нему целым числом.
График функции бланманже представлен на рисунке. Область под кривой, закрашена розовым. Ее площадь равна ½.

Построим теперь круг C с центром в точке (3/8, 1/2) и радиусом 3/8.
Найдите площадь той части круга C, которая лежит под графиком  функции бланманже.
Результат умножьте на 10⁷ и округлите до целого.

Для целого n≥4 определим нижний простой квадратный корень из n как наибольшее простое число, не превышающее √n. Обозначим это число через lps(n).
Аналогично, обозначим через ups(n) верхний простой квадратный корень из n, т.е. наименьшее простое число, большее или раное √n.
Например, lps(4) = 2 = ups(4), lps(1000) = 31, ups(1000) = 37.
Назовем число n≥4 полуделимым, если оно делится на lps(n) или на  ups(n), но не кратно обоим этим числам одновременно. Первые три полуделимых числа – это 8, 10 и 12. Число 15 не является полуделимым, поскольку  оно кратно и lps(15)=3, и ups(15)=5. Сумма первых трех полуделимых чисел равна 30. Сумма первых 92 полуделимых чисел равна 34825.
Найдите сумму первых 3711717 полуделимых чисел.

Решите уравнение относительно r:

Результат округлите до целого.

Игрок бросает пять шестигранных костей (т.е. кубиков, грани которых пронумерованы от 1 до 6), а затем подсчитывает сумму трех наибольших выпавших значений.
Ниже приведены четыре примера, когда игрок получает 15 очков:

D1,D2,D3,D4,D5 = 4,3,6,3,5
D1,D2,D3,D4,D5 = 4,3,3,5,6
D1,D2,D3,D4,D5 = 3,3,3,6,6
D1,D2,D3,D4,D5 = 6,6,3,3,3

Существует ровно 1111 вариантов для пяти шестигранных костей, когда три наибольших выпавших значения дают в сумме 15.

А сколько будет вариантов для 18 двенадцатигранных костей (т.е. додекаэдров, грани которых пронумерованы от 1 до 12), когда 10 наибольших выпавших значений в сумме дают полный квадрат?

Высота над уровнем моря на острове Буян определяется формулой

,
где x и y — горизонтальные декартовы координаты.
Шмелю нужно попасть из точки А с горизонтальными координатами (600,600) в точку В с координатами (1400,1400). Чтобы обогнуть возвышенности, шмель из точки A вертикально поднимается на высоту f, затем, двигаясь горизонтально, достигает точки, расположенной прямо над точкой B, и наконец, спускается на землю по вертикали.
Шмель не любит без нужды подниматься вверх слишком высоко, и поэтому он выбирает минимальную высоту fmin, оставаясь на которой можно достичь цели, а на этой высоте выбирает кратчайший путь, лежащий в горизонтальной плоскости.
Найдите длину этого кратчайшего пути, который шмель проделает по горизонтали на высоте fmin. Результат умножьте на 1000 и округлите вниз до целого.

Примечание. Для вашего удобства формула высоты записана в более удобном для программирования виде:

h=( 5000-0.005*(x*x+y*y+x*y)+12.5*(x+y) ) * exp( -abs(0.000001*(x*x+y*y)-0.0015*(x+y)+0.7) )