Кристиан Гольдбах предположил, что каждое нечетное составное число может быть разложено в сумму простого и удвоенного квадрата натурального числа. Например:

9 = 7 + 2 * 1²

15 = 7 + 2 * 2²

21 = 3 + 2 * 3²

25 = 7 + 2 * 3²

33 = 31 + 2 * 1²

Но оказалось, что предположение всё же неверно. Найдите все нечетные составные числа меньше 1000000, которые невозможно разложить в такую сумму. В ответе укажите сумму всех таких чисел.

Для каждого числа найдем число его различных простых делителей, например:

12 = 2²*3 - у него 2 различных простых делителя 2 и 3. 

Оказывается, что минимальные два последовательных числа, у которых по 2 различных простых делителя, это:

14 = 2*7

15 = 3*5

Первая тройка последовательных числа, у которых по три различных простых делителя:

644 = 2²*7*23

645 = 3*5*43

646 = 2*17*19

Надо найти первую тройку последовательных чисел, для каждого из которых количество различных простых делителей ровно 5. В ответе запишите первое число из тройки.

Сумма ряда 1¹ + 2² + 3³ + ... + 10¹⁰ = 10405071317

Нужно найти последние 10 цифр суммы ряда:

1¹ + 2² + 3³ + ... + 2009²⁰⁰⁹

Рассмотрим арифметическую прогрессию из трех членов 1487, 4817, 8147 с шагом 3330. Все числа в ней простые. Но она обладает еще одним интересным свойством - каждое число тройки может быть составлено из цифр другого.

Найдите все тройки пятизначных чисел, составляющие возрастающую арифметическую прогрессию, являющихся простыми и к тому же такие, что числа внутри тройки можно получить друг из друга перестановкой цифр. В ответе выведите количество таких троек.

Число 17 может быть представлено как сумма идущих подряд простых чисел:

2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Найдите самый длинный ряд последовательных простых чисел таких, что их сумма - тоже простое число меньшее 3000000. В ответе запишите произведение количества простых чисел в найденном ряде и их суммы.

Рассмотрим пятизначную конструкцию 56**3. Заменив звездочки одинаковыми цифрами, мы получим серию из 10 чисел 56003, 56113, ..., 56993. Семь из этих чисел простые (56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773, 56993).

Теперь рассмотрим все различные семизначные конструкции, состоящие из цифр и звездочек. Замена звездочек одинаковыми цифрами в каждой конструкции порождает серию из 10 чисел, например, конструкция **1*23* порождает серию: 0010230, 1111231, 2212232, 3313233, 4414234, ..., 9919239. Выберем только те конструкции, в которых после замены звездочек в полученной серии из 10 чисел имеется не менее 8-ми семизначных простых чисел. Теперь выбросим в отобранных конструкциях звездочки и полученные числа сложим. Чему равна сумма?

Оказывается есть такие числа, что при умножении их на некоторое число получается число, состоящее из цифр исходного числа. Например, 125874 * 2 = 251748.

Найдите все семизначные числа, которые при умножении на каждое из чисел 2, 3, 4, 5 и 6 дают результаты, состоящие из цифр исходного числа. В ответе напишите сумму всех таких чисел.

Рассмотрим натуральное десятизначное число. Такое число назовем самоописывающимся, если выполнены следующие условия: первая цифра равна числу единиц в записи числа, вторая цифра равна числу двоек в записи числа, и.т.д. Девятая цифра равна числу девяток в записи числа. Таких чисел существует всего десять. Чему равна сумма их квадратов?

Можно доказать, что не существует прямоугольных треугольников, у которых длины всех трех сторон были бы простыми числами. Однако, существуют прямоугольные треугольники, у которых длины всех сторон являются натуральными числами и, кроме того, длины двух из трех сторон являются простыми числами. Примером такого треугольника является треугольник со сторонами 3, 4, 5. Если рассматривать прямоугольные треугольники, длины сторон которых не превосходят 100, то таких треугольников три штуки. Сколько существует таких треугольников с длинами сторон не более 109?

Рассмотрим все комбинаторные сочетания вида C^k_n= n!/(k!*(n-k)!), где 1 ≤ k ≤ n ≤ 2009. Найдите количество пар (n,k) таких, что 10⁶ < C^k_n ≤ 10⁷.