В записи

  *****
+
  *****
  -------
  ****1

вместо цифр в шестнадцатиричной системе счисления стоят звездочки, при этом первое слагаемое меньше второго. Какое количество вариантов решений существует?

В каждой ячейке квадрата размера 4 на 4 записана цифра. Квадрат будем считать простым, если каждая строка (слева направо), каждый столбец (сверху вниз) и обе диагонали (слева направо) являются простыми четырехзначными числами. Сколько различных простых квадратов существует?

Начальная конфигурация головоломки Рубика "магические квадратики" выглядит так:

 Разрешены такие преобразования:

1. перестановка верхнего и нижнего рядов
2. циклический сдвиг вправо на один квадрат (при этом левый нижний квадрат перемещается вверх и становится левым верхним)
3. поворот по часовой стрелке четырех средних квадратов.

Конфигурацией головоломки называется любое положение квадратиков, которое возможно получить при помощи указанных преобразований.

За какое минимальное количество ходов можно гарантированно преобразовать произвольную конфигурацию в начальную.

Рассмотрим степенной ряд AG(x)=x * G₁+x² * G₂ + x³ * G₃ + ... , где через G_k обозначен k-ый член последовательности 1, 4, 5, 9, 14, 23, ... , задаваемой рекуррентным соотношением
G_k = G_{k - 1} + G_{k - 2}, G₁ = 1 и G₂ = 4.

Мы интересуемся такими x, для которых AG(x) является натуральным. 

Ниже для первых пяти натуральных чисел приведены соответствующие значения x.

x              AG(x)
(sqrt(5) - 1)/4    1
2/5    2
(sqrt(22) - 2)/6    3
(sqrt(137) — 5)/14    4
1/2    5

Мы будем называть число AG(x) золотым самородком, если x рациональное, так как с ростом AG(x) они встречаются все более и более редко. Так, например, двадцатый золотой самородок равен 211345365.

Найдите 40-й золотой самородок.

Для натуральных чисел x, y, z их суммы и разности x + y, x - y, x + z, x - z, y + z и y - z являются квадратами натуральных чисел. Найдите минимальное значение x + y.

В десятизначном числе N за один ход можно удалить произвольное количество цифр так, что оставшиеся цифры последовательно представляют запись простого числа (пробелы между цифрами автоматически удаляются). Найти такое минимальное N, из которого такими ходами можно получить наибольшее количество различных простых чисел.

Пусть ABC – треугольник, внутренние углы которого меньше 120 градусов, и пусть X – некоторая точка внутри треугольника, XA = p, XB = q и XC = r.
Ферма предложил Торричелли найти такое положение X, для которого сумма p + q + r обращается в минимум.
Торричелли удалось доказать, что если на сторонах треугольника ABC построить равносторонние треугольники AOB, BNC и AMC и описать вокруг них окружности, эти окружности пересекутся в общей точке T, лежащей внутри треугольника. Кроме того, он доказал, что точка T (называемая ныне точкой Торричелли-Ферма) минимизирует сумму p + q + r.

Оказывается, что когда сумма p + q + r обращается в минимум, AN = BM = CO = p + q + r, а отрезки AN, BM и CO также пересекаются в точке T.

Если для некоторого треугольника все числа a, b, c, p, q и r оказываются целыми, мы будем называть его треугольником Торричелли. Примером такого треугольника может служить треугольник со сторонами a = 399, b = 455 и c = 511.

Найдите сумму всех различных периметров треугольников Торричелли, не превышающих 300000.

Первые 10 миллионов простых чисел записаны последовательно в ряд. Какое количество нулей находится на четных местах?

Очень простое число это такое простое число, любые несколько первых цифр которого также являются простыми числами. Например, простое число 2333 является очень простым, т.к. числа 2, 23 и 233 также являются простыми. Найдите максимальное очень простое число.