Полупростым называется натуральное число, представимое в виде произведения двух простых чисел (не обязательно различных), например, 15 = 3 × 5; 9 = 3 × 3; 22 = 2 × 11.
Существует ровно десять полупростых чисел, не превышающих 30: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26. Их сумма равна 152.
Найдите сумму полупростых чисел, не превышающих 10⁸.

Операция возведения в сверхстепень, или тетрация, обозначается как a↑↑b или ^ba, и определяется для натуральных a и b следующим образом:
a↑↑1 = a,
a↑↑(k+1) = a (a↑↑k).
Так, 3↑↑2 = 3³ = 27, отсюда 3↑↑3 = 3²⁷ = 7625597484987, а 3↑↑4 примерно равно 10^{3638334640024,1}.
Найдите 8 последних цифр числа 2011 ↑↑ (2011 ↑↑ 2011).

Правильный треугольник со стороной 8 можно разбить на 64 одинаковых правильных треугольника, как показано на рисунке:

Раскрасим теперь то, что получилось, в три цвета: красный, синий и зеленый. Будем считать допустимой такую раскраску, при которых никакие два соседних (имеющих общую сторону) единичных треугольника раскрашены в разные цвета. Треугольники, имеющие общую вершину, но не имеющие общей стороны, не считаются соседними.
Вот пример допустимой раскраски для треугольника со стороной 8:

Обозначим через f(n) число различных допустимых раскрасок для треугольника со стороной n.
Если для получения одной раскраски из другой необходимы преобразования симметрии или повороты, мы будем считать такие раскраски различными.
Тогда f(1)=3, f(2)=24, f(3)=528.
∑f(n)=555 для 1 ≤ n ≤ 3.
Найдите ∑ f(n) для 1 ≤ n ≤ 8.

Пусть (x₁, x₂, ... , x_m) – такой набор положительных вещественных чисел, для которого выполняется условие x₁² + x₂² + ... + x_m² = m, а произведение P_m = x₁ * x₂² * ... * x_m^m принимает максимальное значение. Можно проверить, что [P₁₀] = 64 (здесь скобки [ ] означают целую часть числа).
А чему равно [P₂₅]?

В одном университете очень строго следят за посещаемостью и дисциплиной. Если в контрольный  период студент хотя бы дважды опаздывает или в течение любых трех дней подряд хотя бы дважды прогуливает, то его лишают стипендии.
Если контрольный период продолжается n дней, то его можно зашифровать строкой из n символов, используя букву L для опозданий, A для прогулов и O для дней, когда студент приходил на занятия вовремя.
Из 81 возможной строки для 4-дневного зачетного периода стипендиальным требованиям удовлетворяют 24 строки:

OOOO OOOA OOOL OOAO OOAL OOLO OOLA OAOO OAOL OALO OLOO OLOA OLAO AOOO AOOA AOOL AOLO AOLA ALOO ALOA LOOO LOOA LOAO LAOO

А сколько строк удовлетворяет стипендиальным требованиям для 30-дневного зачетного периода?

На Олимпиаде в Индии, которую проводил Маугли, в забегах приняли участие все животные - и жалкие дождевые черви, и вожак стаи старый Акелла, и даже злобный Шер-Хан. Их оказалось очень много - ровно 1 миллиард. Все животные получили последовательные номера от единицы и до одного миллиарда.

После первого забега победили участники у которых были нечетные номера, их заново пронумеровали - 1-й сохранил свой номер, участник с номером 3-й номер стал 2-м, с номером 5 - стал 3-м и так далее, проигрывшие выбыли из соревнования.

Во втором забеге победили все участники, которые имели четные номера, их также заново пронумеровали: 2-й стал 1-м, 4-й - 2-м, 6-й - 3-м и так далее.

Как потом выяснилось, и далее в нечетных забегах побеждали участники с нечетными номерами, а в четных - с четными, и каждый раз после очередного забега участников перенумеровывали по той же схеме.

В конце концов победила хитрая Багира. Выясните какой у нее был номер в начале сревнований?

Возьмем вещественное число x.
Наилучшим его приближением со знаменателем, не превышающим d, назовем несократимую дробь r/s (s≤d), такую, что у любого рационального числа, лежащего ближе к x, чем r/s, знаменатель будет больше, чем d:
|p/q-x| < |r/s-x| => q>d.
Например, наилучшим приближением числа √13 со знаменателем, не превышающим 20, будет дробь 18/5. А наилучшим приближением того же числа, но со знаменателем, не превышающим 30, будет 101/28.
Найдите сумму знаменателей наилучших приближений √n со знаменателем, не большим, чем 10¹², для всех простых чисел n, не превышающих 100000.

Натуральное число называется свободным от квадратов, если оно не делится ни на один квадрат простого числа. Например, числа 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 свободны от квадратов, а числа 4, 8, 9, 12 - нет.
Сколько свободных от квадратов чисел не превышает 3³⁰?

Будем называть треугольник шестидесятиградусным, если он имеет хотя бы один угол, равный 60 градусам, а длины его сторон выражаются целыми числами.
Обозначим через r радиус вписанной в такой треугольник окружности.
Существует 1580 различных шестидесятиградусных треугольников с r ≤ 100.
Обозначим через T(n) количество различных шестидесятиградусных треугольников с r ≤ n.
Тогда T(100) = 1580, T(1000) = 26231 и T(10000) = 394553.
Найдите T(2000000).

Назовем натуральное число дважды квадратным, если оно является квадратом натурального числа и из его цифр можно составить большее число, также являющееся квадратом натурального числа. Например, 256 = 16² - дважды квадратное, поскольку 625=25². Найдите количество дважды квадратных чисел, меньших 10¹⁵.