Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник с  целыми сторонами, и 1 ≤ AB < BC < CD < AD. Точка O – середина диагонали BD. Будем называть четырехугольник ABCD биклинным, если длины отрезков BO, DO, AO и CO – целые числа, и AO = CO < BO = DO.

Например, когда AB = 19, BC = 29, CD = 37, AD = 43, BD = 48 и AO = CO = 23, четырехугольник ABCD является биклинным.

Обозначим через B(N) количество различных биклинных четырехугольников ABCD с целыми сторонами, у которых |AB|²+|BC|²+|CD|²+|AD|² ≤ N..

Можно проверить, что B(10 000) = 48 и B(1 000 000) = 38108. 

Найдите B(10 000 000 000).

Когда стали раздавать бесплатные участки на Луне, были установлены следующие правила. Каждому государству выделяется квадратная площадка размером 500 х 500 м. Площадка расчерчена на клетки размером 1 х 1 м, в углах которых установлено 251001 столбов. Забор должен состоять из прямолинейных отрезков, соединяющих столбы. 

Однако нужно учитывать, что строительство заборов в лунных условиях недешево.

Конечно, богатые государства построили себе ограды длиной 2000 м, которые ограничивали площадь 250 000 м2. Но финансы княжества Фенвик расстроены, и правительство поручило вам, Главному Программисту, найти оптимальную форму забора, обеспечивающую максимальное отношение площади огороженного участка к длине забора.

Прежде, чем писать программу, вы сделали предварительные расчеты. 

Для квадратного забора длиной 2000 м площадь участка получается равной 250 000 м², а отношение площади к длине ограды  равно 125.

Если бы разрешалось строить криволинейные заборы, то для круглого участка диаметром 500 м площадь будет равна π*250² м², длина ограды - π*500 м, и отношение будет равно тому же числу 125.

Если же отрезать от четырех углов площадки четыре равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами 75 м, как показано на рисунке зеленым цветом, можно достичь существенного выигрыша. Действительно, площадь участка станет равной 238750 м², длина забора будет равна 1400+300√2 м, а интересующее нас отношение составит примерно 130,87. При этом будет использовано 1700 столбов.

Найдите форму участка, обеспечивающую максимум отношения площади огороженного участка к длине ограды. В качестве ответа укажите количество использованных столбов.

Обозначим через U(n,m) количество биномиальных коэффициентов C^k_m, которые не делятся ни на 2, ни на 5, где натуральные числа m,n и k удовлетворяют неравенству m≤k<n.

Например, U( 1234567890, 10⁷-10) = 24.

Найдите U(1234567890987654321, 10¹²-10).

Круглое болото разбито на секторы, перенумерованные по часовой стрелке числами от 1 до 500. Лягушка, сидящая в одном из секторов, может прыгнуть в один из двух соседних секторов с равной вероятностью.

Перед тем, как прыгнуть, лягушка квакает. 

Если номер сектора, в котором сидит лягушка, является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "P" и с вероятностью 1/3 квакает "N".

Если номер сектора, в котором сидит лягушка, не является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "N" и с вероятностью 1/3 квакает "P".

Предположим, что в начальный момент лягушка может занимать любой из секторов с равной вероятностью. Подсчитайте вероятность того, что после 15 прыжков лягушачью песнь можно будет закодировать последовательностью PPPPNNPPPNPPNPN. 

Результат представьте в виде несократимой дроби, а в качестве ответа укажите ее числитель.

Сферическим треугольником называют фигуру на поверхности сферы, ограниченную дугами больших кругов, имеющими попарно общие концы.

Пусть C(r) – сфера с центром в начале координат (0,0,0) и радиусом r.

Пусть Z(r) – множество точек сферы C(r) с целыми координатами.

Пусть T(r) – множество сферических треугольников с вершинами, принадлежащими Z(r). Вырожденные сферические треугольники с вершинами, принадлежащими одному большому кругу, не включаются в T(r).

Пусть A(r) – наименьшая площадь треугольника из T(r), а B(r) =(4πr²)/A(r) – величина, обратная доле площади сферы, которую занимает наименьший сферический треугольник.

Например, A(14) ≈3,294040, а B(14) ≈ 748.

Найдите максимальное значение B(r) для натуральных r, не превышающих 50. Результат округлите до ближайшего целого.

Любое натуральное число может быть разбито на слагаемые вида 2ⁱ×3^j, где i,j ≥0, но в этой задаче мы будем рассматривать лишь те разбиения, у которых ни одно слагаемое не кратно другому. В дальнейшем будем называть такие разбиения специальными.

Например, разбиение числа 17 = 2 + 6 + 9 = (2¹×3⁰ + 2¹×3¹ + 2⁰×3²) не будет специальным, поскольку 6 кратно 2. Разбиение 17 = 16 + 1 = (2⁴×3⁰ + 2⁰×3⁰) тоже не специальное, так как 16 кратно 1. У числа 17 есть только одно специальное разбиение, а именно 8 + 9 = (2³×3⁰ + 2⁰×3²).

Некоторые числа имеют несколько специальных разбиений. Например, число 11 имеет два специальных разбиения:

11 = 2 + 9 = (2¹×3⁰ + 2⁰×3²) 

11 = 8 + 3 = (2³×3⁰ + 2⁰×3¹)

Обозначим через P(n) количество специальных разбиений числа n. Так, P(11) = 2.

Можно подсчитать, что сумма простых чисел q<100, для которых P(q)=2 равна 641.

Найдите сумму простых q < 1000000, для которых P(q)=2.

Вообразите бесконечный в оба конца ряд чаш, перенумерованных целыми числами.

В некоторых чашах лежат бобы. Разрешается делать ходы следующего вида: взять два боба из одной чаши и разложить их в две соседние. Игра заканчивается, когда сделать ход невозможно.

В примере на рисунке в две соседние чаши положили 2 и 3 боба, а остальные чаши оставили пустыми. Как видно, такую игру можно закончить за 8 ходов.

Рассмотрим последовательность целых чисел bi следующего вида:

b0 = 0, b1 = 289, b2 = 145

bi = (bi-1 + bi-2 + bi-3) mod 2013,

где x mod y означает остаток от деления x на у.

Пусть количество бобов в двух соседних чашах определяется числами b1 = 289 и b2 = 145, а остальные чаши в начальном положении пусты. В этом случае игру можно закончить за 3419100 ходов.

Подсчитайте, сколько ходов потребуется для завершения игры , если в начальном положении в чашах с номерами от 1 до 1500 лежит b1, b2, ... b1500 бобов, соответственно, а остальные чаши пусты.

Последовательность Голомба {G(n)}  определяют как единственную неубывающую последовательность натуральных чисел, содержащую ровно G(n)  вхождений каждого натурального числа n.
Вот несколько первых значений G(n):

Можно подсчитать, что G(2¹⁰) = 87, G(2²⁰) = 6320, и что ΣG(2ⁿ) = 857297 при 1 ≤ n < 30.

Найдите ΣG(2ⁿ)для 1 ≤ n < 60.

Возьмем натуральное число k, и будем выписывать последовательность рациональных чисел a_i = x_i/y_i следующим образом:
a₁ = 1/k
a_i = (x_i-1+1)/(y_i-1-1) при i>1.
При этом все дроби x_i/y_i будем приводить к несократимому виду.
Мы будем продолжать последовательность до тех пор, пока нам не встретится целое число n.
Определим функцию  f(k)  как f(k) = n.
Например, при k = 20:

1/20 → 2/19 → 3/18 = 1/6 → 2/5 → 3/4 → 4/3 → 5/2 → 6/1 = 6

Поэтому f(20) = 6.

Можно проверить, что f(2) = 2, f(3) = 1 и Σf(k³) = 18764 для простых k, не превышающих 100.

Найдите Σf(k³) для простых k, не превышающих 5×10⁶.