Составьте из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 все возможные различные числа, начиная с 0, при этом в каждом числе одна цифра должна использоваться не более одного раза, при этом записи вида 012 и 12 означают одно и тоже число. Выпишите полученные числа в порядке возрастания.

Какое число окажется на миллионном месте?

Требуется найти минимальное натуральное число с суммой цифр 123, которое делится на 1237.

Игра Ним - игра для двух человек. Правила игры очень просты.
Есть несколько кучек камней. Двое по очереди делают ходы. Ход заключается в том, что игрок выбирает непустую кучку и берет из нее любое число камней (ненулевое). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Если изначально в игре три кучки: 10, 15, 20, то при правильной игре выиграет первый игрок, а если 10, 20 и 30, то второй. Найдите минимальное n для которого в игре "10 20 30 40 50 60 70 80 90 n" выиграет второй.

Пусть A₁=2009, ..., A_k+1=2009^A_k.
Найти последние 40 цифр числа A₂₀₀₉.

Строку натуральных чисел (1, 3, 5, 2, 4) попробуем упорядочить при помощи специальных перестановок: разделим строку на 2 части (1, 3, 5) и (2, 4), первую строку запишем в обратном порядке и присоединим ко второй, в результате получим (5, 3, 1, 2, 4). Далее действуем также - разбиваем строку на 2 любые части (любая часть может быть пустой), первую часть записываем в обратном порядке и просоединяем ко второй. При помощи перестановок:

(5, 3, 1, 2, 4) = (5, 3, 1, 2, 4) + () -> (4, 2, 1, 3, 5)

(4, 2, 1, 3, 5) = (4, 2, 1, 3) + (5) -> (3, 1, 2, 4, 5)

(3, 1, 2, 4, 5) = (3, 1, 2) + (4, 5) -> (2, 1, 3, 4, 5)

(2, 1, 3, 4, 5) = (2, 1) + (3, 4, 5) -> (1, 2, 3, 4, 5)

За какое минимальное количество перестановок гарантированно можно упорядочить строку чисел от 1 до 100?  

Число 32 можно представить в виде суммы нескольких двузначных чисел ровно девятью способами:

10 + 22
11 + 21
12 + 20
13 + 19
14 + 18
15 + 17
16 + 16
10 + 10 + 12
10 + 11 + 11

А сколькими способами можно представить число 100 в виде суммы двузначных слагаемых?

Найти минимальное 24-значное число a₁a₂a₃...a₂₄, которое удовлетворяет следующим условиям:

a₁ делится на 1;

a₁a₂ делится на 2;

a₁a₂a₃ делится на 3;

...

a₁a₂a₃...a₂₄ делится на 24.

Клетки шахматной доски размером 8x8 обозначены стандартным способом по горизонтали буквами "a-h" и по вертикали цифрами "1-8". У вас имеются по 8 комплектов каждой буквы и каждой цифры и вы размещаете на каждой клетке одну букву и одну цифру, таким образом, чтобы полученный номер не совпадал со стандартным (должна отличаться или буква или цифра). Найдите количество таких размещений и введите в ответ сумму цифр полученного числа. 

Квадрат размером 1024 на 1024 клетки складывается относительно вертикали сначала так, чтобы правый край наложился на левый, а затем относительно горизонтали, чтобы нижний край наложился на верхний. Операция продолжается до тех пор, пока не останется одна клетка. Клетки изначально были пронумерованы числами снизу "змейкой": самый нижний ряд - слева направо, второй ряд - справа налево продолжает нумерацию и так далее до самого верха. Какую клетку нужно отметить, чтобы в результате складывания она оказалась на самом верху?