В каждой ячейке квадрата размера 5 на 5 записана цифра. Квадрат будем считать простым, если каждая строка (слева направо), каждый столбец (сверху вниз) и обе диагонали (слева направо) являются простыми пятизначными числами. Сколько существует различных симметричных простых квадратов (т.е. таких, в которых первая строка равна первому столбцу, вторая строка - второму столбцу, и так далее, все 5)?

На координатной сетке на плоскости отмечены точки P_ij, где i и j - простые числа и 1≤i,j≤1000. Точки P_ij рассматриваются как вершины треугольников. Сколько треугольников являются равнобедренными?

Набор домино состоит из прямоугольных костяшек, каждая из которых разделена на две половинки линией, параллельной более короткой стороне. На каждой из половинок нарисованы точки, количество которых соответствует числу от 0 до 6 включительно. На костяшках полного набора домино обозначены все возможные различные пары чисел.

Все костяшки выкладывают в "круговые" цепочки, соединяя пары костяшек короткими сторонами, если количества точек на соседних с местом соединения половинках костяшек равны, и при этом левая половинка начальной и правая половинка последней костяшки имеют одинаковое количество точек и поэтому цепочка "закругляется". Две цепочки будем считать различными, если нельзя получить одну из другой при помощи поворота или зеркального отображения.

Сколько существует различных "круговых" цепочек состоящих из всех костяшек?

Суперферзь отличается от обычного тем, что он может ходить и как конь. Сколькими способами можно расствить 14 суперферзей на шахматной доске размера 14 на 14 таким образом, чтобы ни один суперферзь не находился под ударом другого суперферзя? Позиции, получающиеся друг от друга поворотом или зеркальным отображением, считаются разными.

Рассмотрим делители четырех последовательных натуральных чисел 242, 243, 244 и 245:

Число    Делители
242    1, 2, 11, 22, 121, 242
243    1, 3, 9, 27, 81, 243
244    1, 2, 4, 61, 122, 244
245    1, 5, 7, 35, 49, 245

Обратите внимание, что все эти числа имеют одинаковое количество делителей, а именно шесть.
Найдите количество натуральных чисел n, не превышающих 10⁷, для которых числа n, n+1, n+2 и n+3 имеют одинаковое количество делителей.

Автоморфные числа - это числа, десятичная запись квадрата которых оканчивается цифрами самого этого числа. Например, число 5 (5²=25) или 6 (6²=36). Эти числа составляют последовательность: 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9 376, 90 625, 109 376, 890 625,... (0 не считается).

В системе счисления с основанием 14 также имеются автоморфные числа. Рассмотрим ряд из этих чисел. Найдите число, находящееся на 28-м месте в этом ряду.

Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Известная задача от компании Google звучит так: найдите первое 10-значное простое число, состоящее из последовательных цифр в записи числа e. Немного усложним условие - найдите первое 11-значное число.

Даны наборы чисел (x_n, y_n, r_n), n=1,...100, задающие окружности с центром в точке с координатами (x_n, y_n)  и радиусом r_n.  Эти числа выбираются так двухзначные числа состоящие из цифр после запятой  в записи числа π, стоящие соответственно для x_n - на n и n+1 местах,  для y_n - на n+2 и n+3 местах, и r_n - на n+4 и n+5 местах. Таким образом, x₁=14, y₁=15, r₁=92 и т.д. Найдите количество точек пересечения (включая точки касания) этих окружностей.

Пусть на координатной плоскости точка O(0,0) - начало координат, а C - точка с координатами (r,r).
Обозначим через N(r) количество тупоугольных треугольников OBC, у которых сторона OB короче стороны OC, а обе координаты вершины B - целые числа.

Например, N(1)=2, и N(4)=60.

Найдите N(2²⁷).

Обозначим через σ(n) сумму делителей натурального числа n, например σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
Для совершенных чисел n, как вы, вероятно, знаете, σ(n) = 2n. Поэтому назовем коэффициентом совершенства отношение p(n)=σ(n) / n. У совершенных чисел коэффициент совершенства равен 2.
Найдите сумму таких натуральных n < 10¹⁸, у которых коэффициент совершенства является несократимой дробью со знаменателем 3.