Напомним, что функцией Эйлера φ(n) для натуральных n называют количество натуральных чисел, не превышающих n и взаимно простых с n.
Взяв некоторое число n,  будем строить цепочку n, φ(n), φ(φ(n)), φ(φ(φ(n)))…, пока не получим 1. Например, начав с 5, получим последовательность 5,4,2,1, содержащую 4 члена. Ниже приведены все последовательности, содержащие 4 члена.

5,4,2,1
7,6,2,1
8,4,2,1
9,6,2,1
10,4,2,1
12,4,2,1
14,6,2,1
18,6,2,1

Ровно две из них начинаются с простых чисел.
Найдите сумму всех простых чисел, не превышающих 40000000, с которых начинается последовательность длиной 25 и более членов.

В игру "Погоня" играет четное количество игроков за круглым столом двумя игральными костями.
В начале игры два игрока, сидящие друг напротив друга, получают каждый по кости. Каждую секунду игроки, получившие кость, делают ход. Для этого они одновременно бросают кубик, и если выпадает 1, они передают кость соседу слева, а если выпадет 6 – соседу справа. В остальных случаях кубик остается у игрока до следующего хода. Игра заканчивается, когда оба кубика после очередного хода окажутся у одного игрока. Этот игрок считается проигравшим.
Однажды за стол сели играть 100 игроков. Их перенумеровали подряд по часовой стрелке. Спустя некоторое время кубики оказались у игроков № 33 и № 77.
Каково ожидаемое время до конца игры?
Ответ дайте в миллисекундах, округлив его до целого.

Пусть S_n – правильный n-угольник, вершины которого v_k (k = 1,2,…,n) имеют координаты:

Как обычно, под многоугольником понимается фигура, включающая и ограничивающую замкнутую ломаную, и внутреннюю область.
Рассмотрим две точки на плоскости с координатами (u,v) и (x,y). Их суммой будем называть точку с координатами (u+x,v+y).
Суммой Минковского, S+T двух плоских фигур S и T будем называть множество всевозможных сумм точек, одна из которых принадлежит S, а другая принадлежит T.
Например, сумма S₃ + S₄ представляет собой шестиугольник, окрашенный на рисунке в пурпурный цвет.

Рассмотрим фигуру S₁₅₀₀ + S₁₅₀₁+ … + S₂₅₀₀, представляющую собой многоугольник. Сколько у этого многоугольника сторон длиннее, чем 1/200?

Рассмотрим число
G(n) = (n²)!/(n!)ⁿ,
где n – натуральное. Несложно показать, что G(n) – тоже натуральное число.
Например, G(3)=1680. Разложим 1680 на простые множители, а затем их сложим:

1680=2⁴×3×5×7=2×2×2×2×3×5×7,
и
2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 5 +7 = 23.
Таким образом, сумма простых множителей числа G(3) равна 23.

Найдите сумму простых множителей числа G(4444).

Рассмотрим замкнутые ломаные, каждая из которых
• проходит через центры всех клеток шахматной доски 4×n,
• состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков,
• не имеет самопересечений.
На рисунке изображена одна такая ломаная на доске 4×10:
 
Обозначим через T(n) количество таких ломаных для доски 4×n.
Можно показать, что T(10) = 1517.
Найдите остаток T (10¹²) по модулю 10⁸.

В зале театра 40 нумерованных мест, а продано всего 18 билетов. Сколькими способами можно рассадить зрителей так, чтобы ровно 8 из них сидели на своих местах?

Обозначим через σ(n) сумму делителей натурального числа n, например σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
Для совершенных чисел n, как вы, вероятно, знаете, σ(n) = 2n. Поэтому назовем коэффициентом совершенства отношение p(n)=σ(n) / n. У совершенных чисел коэффициент совершенства равен 2.
Найдите сумму таких натуральных n < 10¹⁸, у которых коэффициент совершенства является несократимой дробью со знаменателем 3.

Рассмотрим множество, состоящее из первых n натуральных чисел: {1,2,...,n}.
Обозначим через f(n,k) количество его k-элементных подмножеств, сумма элементов которых нечетна. Например, f(5,3) =4, поскольку множество {1,2,3,4,5} имеет четыре 3-элементных подмножества с нечетной суммой элементов: {1,2,4}, {1,3,5}, {2,3,4} и {2,4,5}.
Когда все три числа n, k и f(n,k) нечетны, будем говорить, что они образуют нечетный триплет, и обозначим через g(m) количество нечетных триплетов [n,k,f(n,k)] с n ≤ m.
Тогда g(10)=5, поскольку существует ровно 5 нечетных триплетов с n ≤ 10, а именно:
[1,1,f(1,1)=1], [5,1,f(5,1)=3], [5,5,f(5,5)=1], [9,1,f(9,1)=5] и[9,9,f(9,9)=1]
Найдите наименьшее m, при котором g(m) > 10¹⁸.

Существует несколько определений эллипса. Вот одно из них:
Эллипсом называется множество точек, равноудаленных от некоторой окружности и некоторой точки, лежащей внутри указанной окружности. Рисунок ниже поясняет это определение:

<page-break/>
Пусть задана окружность c с центром M(-2000,1500) и радиусом 15000, а также точка G(8000,1500). Множество точек, равноудаленных от G и c, образует эллипс e, как показано на следующем рисунке.

Рассмотрим теперь точку P с целочисленными координатами, лежащую во внешней области эллипса e, и проведем из нее прямые PS и PR, касающиеся эллипса e в точках S и R.
Подсчитайте, сколько существует на плоскости точек P с целочисленными координатами, для которых угол RPS между касательными к эллипсу  не менее 30 градусов?

Будем называть натуральное число k опорным, если существует такая пара натуральных чисел m≥0 и n≥k, для которых
(k-m)² + ... + k² = (n+1)² + ... + (n+m)²,
то есть сумма m+1 последовательных квадратов вплоть до k² включительно равна сумме m последовательных квадратов, начинающихся с (n+1)², например:
4: 3² + 4² = 5²
21: 20² + 21² = 29²
24: 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
110: 108² + 109² + 110² = 133² + 134²
Найдите сумму всех различных опорных чисел в промежутке 10⁹≤k≤10¹⁰.