Изучим целые положительные решения уравнения
1/x + 1/y =1/n

при различных натуральных n.
Для  n = 4 уравнение будет иметь ровно три различных решения:
1/5 + 1/20 = 1/4
1/6 + 1/12 = 1/4
1/8 + 1/8 = 1/4

Для какого n, не превышающего 15·10¹⁵, уравнение будет иметь больше всего решений?
Замечание: Эта задача - существенно усложненная версия задачи 197. Решить ее "в лоб" вряд ли удастся.

Будем называть возрастающим натуральное число, десятичные цифры которого не убывают слева направо, например 134468.
Аналогично, убывающим числом будем называть такое натуральное число, цифры которого не возрастают слева направо, например 864431.
Оказывается, что возрастающие числа встречаются реже, чем убывающие. Так, среди первых ста натуральных чисел имеется 54 возрастающих и 64 убывающих (18 чисел, состоящих из одинаковых цифр, являются сразу же и возрастающими, и убывающими), а в первой тысяче натуральных чисел - 219 возрастающих и 283 убывающих.
Обозначим через R(n) отношение количества убывающих чисел к количеству возрастающих среди первых n натуральных чисел. Например, оказывается, что R(11)=11/10, R(1127)=11/9.
Найти R(n), где n – число, состоящее из 111 единиц (Оказывается, это целое число).

Найдите сумму первых 100 цифр после запятой числа sin(sin(sin...(sin 1)...)) (sin повторяется 10 раз).

Наименьшее число единичных кубиков, необходимое, чтобы закрыть поверхность прямоугольного параллелепипеда 3х2х1, равно двадцати двум.

Чтобы добавить второй слой кубиков, закрывающих поверхность полученного тела, понадобится сорок шесть кубиков; для третьего слоя необходимо семьдесят восемь кубиков, а для четвертого - сто восемнадцать кубиков.

Первый слой параллелепипеда 5х1х1 также состоит из двадцати двух кубиков; аналогично первый слой в параллелепипедах 5х3х1, 7х2х1 и 11х1х1 состоит из сорока шести кубиков.

Обозначим за C(n) количество параллелепипедов, содержащих n кубиков в одном из своих слоев. Тогда С(22) = 2, С(46) = 4, С(58) = 5, С(82) = 7.

Оказывается, что сумма всех трехзначных n, для которых С(n) = 5, составляет 930.

Найдите сумму всех пятизначных n, для которых C(n) = 500.

Шахматный конь ходит буквой "Г" - сначала в одну сторону на 2 клетки, а потом влево или вправо на одну. Новая шахматная фигура баран ходит как и конь, только сначала он ходит на 3 клетки.

Баран начал ходить с поля a1. Какое максимальное количество клеток он может посетить (включая первую) и при этом не наступая ни на одну из клеток дважды.  

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием b = 16 и боковыми сторонами L = 17.

Применяя теорему Пифагора, видим, что высота треугольника
h = √(17² - 8²) = 15, что на единицу меньше основания.
Для b = 272 и L = 305 мы имеем h = 273, что на единицу больше основания, и это второй по величине равнобедренный треугольник со свойством h = b ± 1.

Найдите сумму периметров десяти наименьших равнобедренных треугольников, для которых h = b ± 1 и b, L натуральные числа.

Поделим с остатком натуральное число n на d. Пусть неполное частное равно q, а остаток r. Иногда числа d, q и r, записанные в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию.

Для примера поделим с остатком 58 на 6. Получим неполное частное 9 и остаток 4. Видим, что 4, 6, 9 образуют геометрическую прогрессию (со знаменателем 3/2).
Мы будем называть такие числа n прогрессивными.

Некоторые прогрессивные числа, такие как 9 или 10404 = 102², являются полными квадратами.
Оказывается, что 97344 - это наибольший прогрессивный полный квадрат, меньший ста тысяч.

Найдите наибольший прогрессивный полный квадрат, меньший одного триллиона (10¹²).

В каждой ячейке квадрата размера 5 на 5 записана цифра. Квадрат будем считать простым, если каждая строка (слева направо), каждый столбец (сверху вниз) и обе диагонали (слева направо) являются простыми пятизначными числами. Сколько существует различных симметричных простых квадратов (т.е. таких, в которых первая строка равна первому столбцу, вторая строка - второму столбцу, и так далее, все 5)?

Цепочки цифр (строки) создаются по следующему правилу:
Первая строка состоит из двух цифр "1". Каждая из последующих цепочек создается такими действиями: берется цифра, на единицу большая максимальной цифры, использовавшейся в предыдущей строке. Эта цифра вставляется в начало, в конец и между всеми цифрами предыдущей строки. Вот первые 4 строки, созданные по этому правилу:
(1) 11
(2) 21212
(3) 32313231323
(4) 43424341434243414342434

Таким образом, было построено еще 5 строк и в результате получена строка, содержащая цифры от 1 до 9 и состоящая из 767 цифр. Введите в ответ число состоящие из цифр стоящих на 300-м и 301-м местах от начала.