Гексагональные числа, это числа получаемые по формуле n*(2n - 1). Вот первые 12 таких чисел:
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276
Можно видеть что, H₅ + H₁₁ = H₁₂. Но вот их разность H₁₁ - H₅ = 231 - 45 = 186 - не гексагональное.
Надо найти такую пару H_j и H_k гексагональных чисел, что модуль их разности |H_j - H_k| и сумма H_j + H_k тоже гексагональны. Такая пара не единственна, найдите минимальное значение |H_j - H_k| таких пар.

Гипотеза Гольдбаха, которая до сих пор является нерешённой проблемой, заключается в следующем: 

Любое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Оказывается, что для небольших чётных чисел такое представление не только существует, но их существует достаточно много. Например, число 20130 можно представить в виде суммы двух различных простых чисел 512 способами.

Требуется найти наименьшее натуральное чётное число, которое можно представить в виде суммы двух различных простых чисел ровно 1024 способами.

Треугольные числа вычисляются по формуле n*(n+1)/2, вот первые из них: 1, 3, 6, 10, 15, ..., гексагональные - по формуле n*(2n-1): 1, 6, 15, 28, 45, ... и гептагональные - n*(5n-3)/2: 1, 7, 18, 34, 55, ...
Оказывается есть некоторые числа являющиеся одновременно и треугольными, и гексагональными, и гептагональными, например, число 121771.
Найдите следующее такое число.

Рассмотрим натуральные числа, в десятичной записи которых каждая цифра встречается не более двух раз. Расположим их в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, и т.д. Миллионное по счету число будет 1229648. Какое число будет на месте с номером 1012?

Кристиан Гольдбах предположил, что каждое нечетное составное число может быть разложено в сумму простого и удвоенного квадрата натурального числа. Например:

9 = 7 + 2 * 1²

15 = 7 + 2 * 2²

21 = 3 + 2 * 3²

25 = 7 + 2 * 3²

33 = 31 + 2 * 1²

Но оказалось, что предположение всё же неверно. Найдите все нечетные составные числа меньше 1000000, которые невозможно разложить в такую сумму. В ответе укажите сумму всех таких чисел.

Для каждого числа найдем число его различных простых делителей, например:

12 = 2²*3 - у него 2 различных простых делителя 2 и 3. 

Оказывается, что минимальные два последовательных числа, у которых по 2 различных простых делителя, это:

14 = 2*7

15 = 3*5

Первая тройка последовательных числа, у которых по три различных простых делителя:

644 = 2²*7*23

645 = 3*5*43

646 = 2*17*19

Надо найти первую тройку последовательных чисел, для каждого из которых количество различных простых делителей ровно 5. В ответе запишите первое число из тройки.

Сумма ряда 1¹ + 2² + 3³ + ... + 10¹⁰ = 10405071317

Нужно найти последние 10 цифр суммы ряда:

1¹ + 2² + 3³ + ... + 2009²⁰⁰⁹

Треугольник Паскаля - это бесконечный треугольник из чисел, который имеет следующий вид:

1
1   1
1   2   1
1   3   3   1
1   4   6   4   1
1   5   10  10  5   1
1   6   15  20  15  6   1
...

В этом треугольнике в вершине и по бокам стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, расположенных над ним. Строки в треугольнике нумеруются с нуля. Например, пятая строка состоит из чисел 1, 5, 10, 10, 5, 1. Требуется найти количество нечетных чисел в строке с номером 1012.

Рассмотрим арифметическую прогрессию из трех членов 1487, 4817, 8147 с шагом 3330. Все числа в ней простые. Но она обладает еще одним интересным свойством - каждое число тройки может быть составлено из цифр другого.

Найдите все тройки пятизначных чисел, составляющие возрастающую арифметическую прогрессию, являющихся простыми и к тому же такие, что числа внутри тройки можно получить друг из друга перестановкой цифр. В ответе выведите количество таких троек.

Число 17 может быть представлено как сумма идущих подряд простых чисел:

2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Найдите самый длинный ряд последовательных простых чисел таких, что их сумма - тоже простое число меньшее 3000000. В ответе запишите произведение количества простых чисел в найденном ряде и их суммы.