Число X = (32³² + 4⁴ -1) * 16¹⁶ + 8⁸ -1 перевели из десятичной в двоичную систему счисления. Сколько единиц получилось в двоичной записи числа?

Цепочки цифр (строки) создаются по следующему правилу:
Первая строка состоит из двух цифр "1". Каждая из последующих цепочек создается такими действиями: берется цифра, на единицу большая максимальной цифры, использовавшейся в предыдущей строке. Эта цифра вставляется в начало, в конец и между всеми цифрами предыдущей строки. Вот первые 4 строки, созданные по этому правилу:
(1) 11
(2) 21212
(3) 32313231323
(4) 43424341434243414342434

Таким образом, было построено еще 5 строк и в результате получена строка, содержащая цифры от 1 до 9 и состоящая из 767 цифр. Введите в ответ число состоящие из цифр стоящих на 300-м и 301-м местах от начала.

Всем известно, что уравнение x²=-1 не имеет решений для вещественных x.
Однако, перейдя в область комплексных чисел, мы найдем два корня: x=i и x=-i.
Уравнение (x-3)²=-4 имеет два решения: x=3+2i и x=3-2i. Их называют комплексно-сопряженными.
Гауссовыми целыми называют комплексные числа a+bi, у которых a и b целые. Обычные целые числа тоже, конечно, являются гауссовыми целыми с b=0. Чтобы отличить их от гауссовых целых с b≠0, мы будем называть их "рациональными целыми". Гауссово целое будем называть делителем рационального целого n, если частное также является гауссовым целым.
Например, если мы делим 5 на 1+2i, получим

Поскольку 1-2i – гауссово целое, число 1+2i является делителем 5.

С другой стороны, 1+i не является делителем 5, поскольку .

Заметим, что если гауссово целое (a+bi) является делителем рационального целого n, то и комплексно-сопряженное (a-bi) также будет делителем n.
Таким образом, число 5 имеет ровно 6 делителей с положительной вещественной частью: {1, 1 + 2i, 1-2i, 2 + i, 2-i, 5}.
В таблице приведены все делители с положительной вещественной частью первых пяти положительных рациональных целых.

Пусть d(n) обозначает число всех натуральных делителей натурального числа n. Найдите максимальное значение величины d(n)⁵/n, кодга n пробегает числа от 1 до 10¹⁰⁰. Ответ округлите до ближайшего целого.

На рисунке изображена треугольная пирамида, составленная из шариков. Каждый шарик стоит на трех других шариках, расположенных в нижележащем слое.

Давайте теперь подсчитаем количество путей, ведущих из вершины к каждому из шаров.

Наш путь начинается с самого верхнего шара. На каждом шаге мы переходим к одному из трех шаров, на которых стоит текущий шар.

Таким образом, количество путей, ведущих к данному шарику, равно сумме количеств путей, ведущих к шарикам, расположенным непосредственно над ним (в зависимости от положения их может быть до трех).

То, что мы получили, называют пирамидой Паскаля, а числа на каждом уровне являются коэффициентами в триномиальном разложении выражения (x + y + z)ⁿ.

Найдите, сколько коэффициентов в разложении (x + y + z)¹²³⁴⁵⁶, кратных 4·10¹³.

Индийский математик Д. Р. Капрекар известен своими работами по теории чисел. Одна из его работ посвящена так называемому преобразованию Капрекара. Рассмотрим следующую операцию. Пусть задано число x. Пусть M - наибольшее число, которое можно получить из x перестановкой его цифр, а m - наименьшее число (это число может содержать ведущие нули). Обозначим как K(x) разность M - m, дополненную при необходимости ведущими нулями так, чтобы число цифр в ней было равно числу цифр в x.
Например, K(100) = 100 - 001 = 099, K(2414) = 4421 - 1244 = 3177.
Капрекар доказал, что если начать с некоторого четырехзначного числа x, в котором не все цифры равны между собой, и последовательно применять к нему эту операцию (вычислять K(x), K(K(x)), . . . ), то рано или поздно получится число 6174. Для него верно равенство
K(6174) = 7641 - 1467 = 6174, поэтому на нем процесс зациклится.
Найдите минимальное число, меньшее миллиона, такое что в результате некоторой последовательности операций K(x), K(K(x)),... получается максимальное число.

Найти миниальное n такое, что: 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n > 16. 

Фигуру, составленную из трех квадратов, имеющих общую сторону, называют тримино. Тримино бывают двух видов: угловое и прямое:

С учетом различных ориентаций можно насчитать шесть видов тримино:

Легко доказать, что при помощи тримино можно покрыть любой прямоугольник m x n, если m x n кратно трем. Например, полоску 2 х 9 можно покрыть 41 способом:

При этом симметричные покрытия мы считали различными.

Сколько существует подобного рода покрытий для прямоугольника 8 х 15?

В шестнадцатеричной системе счисления числа представляют с помощью 16 цифр:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Шестнадцатеричная запись AF соответствует десятичному числу 10x16+15=175.
В трехзначных шестнадцатеричных числах AA0 и A0A цифра 0 использована 1 раз, а цифра A - 2 раза. Как и в десятичных числах, ноль слева не пишется.
Сколько найдется шестнадцатеричных чисел, в записи которых не более 16 цифр, цифра 0 использована хотя бы один раз, а цифра A использована более 1 раза?

Ответ представьте в шестнадцатеричной системе счисления.

Сколько чисел начинается с цифры 1 среди чисел 2ⁿ, где n=0, 1,...,10⁹?