Найти наименьшее натуральное число n для которого 2ⁿ + 3 делится на простое число 625406681329.

Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 123 дает остаток 12, при делении на 239 дает остаток 57, при делении на 361 - остаток 239, при делении на 566 - остаток 361, а при делении на 1237 - остаток 566.

Вершинам правильного пятиугольника приписаны целые числа a, b, c, d, e, при этом a + b + c + d + e > 0. За один ход можно сделать следующую операцию: выбрать вершину, которой приписано отрицательное число, поменять у него знак и прибавить его к соседям. Иными словами, если числа x, y, z приписаны трем последовательным вершинам и y < 0, то их можно заменить на x + y, -y, z + y. Можно доказать, что при любом наборе начальных чисел рано или поздно получится набор, состоящий только из неотрицательных чисел. Например, пусть изначальные числа -1, 2, 3, 4, -5. Их сумма больше нуля. Можно сделать максимум 10 операций, прежде чем все числа станут неотрицательными. Требуется найти такой набор начальных чисел, по модулю не превосходящих 10, для которого существует последовательность операций максимальной длины. В качестве ответа выведите максимальное число операций.

Известно, что все числа, начиная с некоторого, можно представить в виде 2229013x + 3875743y + 2390041z, где x, y и z - целые неотрицательные числа. Чему равно наибольшее натуральное число, которое нельзя представить в таком виде?

Рассмотрим десятичную запись числа √2=1.41421356237... Число 421 является первым трехзначным простым числом, встречающимся в этой записи. Число 135623 - первым шестизначным простым числом. Чему равно первое 12-значное простое число, встречающееся в десятичной записи числа √2?

Рассмотрим сумму Sn=1·31+2·32+3·33+4·34+5·35+...+n·3n. Требуется найти последние девять цифр числа S12345678987654321.

Назовем простое число единичным если его двоичная запись содержит только единицы. Если выписать все единичные простые числа, получим ряд: 3, 7, 31, 127, ... Найдите 14-й член данного ряда.

Известно, что любое число вида √n, где n - не является полным квадратом, представимо в виде периодической цепной дроби. Например,

Нас будет интересовать количество различных значений в периоде таких цепных дробей. В приведенном примере:

√2=[1;(2)], длина периода: 1, различных значений в периоде: 1;

Приведем еще примеры:

√3=[1;(1,2)], длина периода: 2, различных значений в периоде: 2;
√5=[2;(4)], длина периода: 1, различных значений в периоде: 1;
√6=[2;(2,4)], длина периода: 2, различных значений в периоде: 2;
√7=[2;(1,1,1,4)], длина периода: 4, различных значений в периоде: 2;
√8=[2;(1,4)], длина периода: 2, различных значений в периоде: 2;
√10=[3;(6)], длина периода: 1, различных значений в периоде: 1;
√11=[3;(3,6)], длина периода: 2, различных значений в периоде: 2;
√12= [3;(2,6)], длина периода: 2, различных значений в периоде: 2;
√13=[3;(1,1,1,1,6)], длина периода: 5, различных значений в периоде: 2.

Для всех натуральных n, не больших 2009, не являющихся полными квадратами, найдите количество различных значений в периоде цепной дроби √n. В ответе укажите сумму всех количеств.

Известно, что tg(1) представляется следующей непериодической цепной дробью:

tg(1) = [ 1, 1, 1, 3, 1, 5, ... , 1, 2*k - 1, ... ]

Если рассмотреть цепную дробь только с несколькими первыми, значениями получим приближение tg(1).

Для первого значения приближение tg(1) ~ 1.

Для первых двух: tg(1) ~ 1 + 1/1 = 2.

Трёх: 1 + 1 / ( 1 + 1 / 1 ) = 3/2.

Четырех: 1 + 1 / ( 1 + 1 / ( 1 + 1 / 3 )) = 11/7.

Найдите 2009-ое и 2010-ое приближения цепными дробями tg(1). Вычислите разность этих приближений и запишите в ответ сумму цифр знаменателя этой разности.

Рассмотрим такие диофантовы уравнения:

x²-Dy²=1.

Мы будем искать минимальные (по x) решения этого уравнения в натуральных x и y. Например, для D=13 минимальное решение такое:

649²-13*180²=1.

Легко показать, что для D - полного квадрата решений не существует.

Рассмотрим минимальные решения D <= 10:

3² - 2*2²=1;

2² - 3*1²=1;

9² - 5*4²=1;

5² - 6*2²=1;

8² - 7*3²=1;

3² - 8*1²=1;

19² - 10*6²=1.

Нас будут интересовать только те D, минимальные решения которых больше всех ему предшествующих. Здесь это 2, 5, 10.

Среди всех D≤1000 не полных квадратов, найдите те у которых минимальное решение (по x) больше (по x) всех минимальных решений для меньших D. В ответе укажите сумму таких D.