Найти 3 последние цифры числа 2009²⁰¹⁰.

Палиндромами называют числа, десятичные знаки которых расположены симметрично. Палиндром 595 интересен тем, что его можно представить в виде суммы семи последовательных квадратов натуральных чисел: 6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² + 12².

Существует ровно 5 палиндромов, не превышающих 1000, которые можно представить в виде суммы 5 и более последовательных квадратов. Их сумма равна 2609.

Найдите сумму всех палиндромов, не превышающих 10⁸, которые можно представить в виде суммы 5 и более последовательных квадратов.

Радикальное число для числа n, rad(n) это произведение всех различных простых множителей числа n. Например, 504 = 2³*3²*7, и rad(n) = 2*3*7 = 42.
Будем рассматривать тройки натуральных чисел (a, b, c) обладающие следующими свойствами:

1. НОД(a, b) = НОД(a, c) = НОД(b, c) = 1.
2. a < b
3. a + b = c
4. rad(abc) < c

Например, такой тройкой является (5, 27, 32):
НОД(5, 27) = НОД(5, 32) = НОД(27, 32) = 1
5 < 27
5 + 27 = 32
rad(4320) = 30 < 32

Для некоторых c имеется более одной такой тройки (a, b, c). До 10000 таких c всего 15.

Найдите сколько существует c меньших 100000, для которых существует более одной тройки (a, b, c), обладающих описанными выше свойствами.

Замощение плоскости правильными шестиугольниками нумеруется начиная с 1 следующим образом: вначале один многоугольник выделяется и обозначается "1", затем против часовой стрелки начиная с направления вверх последовательно нумируется еще слой из 6 правильных многоугольников. И так далее каждый слой. Смотрите иллюстрацию, на ней пронумерованы первые три слоя.

Для каждого числа n найдем модули разности между ним и его шестью соседями. Определим PD(n) количество простых модулей разности среди них.

Например, для числа 8 модули разности такие: 12, 29, 11, 6, 1 и 13. Таким образом PD(8) = 3.

А для числа 17 разности: 1, 17, 16, 1, 11 и 10, то есть PD(17) = 2.

Можно показать, что значения PD(n) не превосходит 3, для любых n.

Выпишите все n делящиеся на 5, начиная с меньших n, для которых PD(n) равно 3. В ответ запишите 1000-е такое n.

Найти сумму первых 2010 цифр после запятой значения корня степени 2010 из 2010.

При каком минимальном натуральном n число вида 9ⁿ-7ⁿ делится на 1000?

Найдите количество простых чисел, больших 100, цифры каждого из которых в порядке их следования в десятичной записи образуют арифметическую прогрессию с ненулевой разностью.

Рассмотрим "единичные" числа, числа состоящие из нескольких цифр "1". Обозначим R(k) число состоящее из k единиц; например, R(6) = 111111.

Пусть n - натуральное и НОД(n, 10) = 1. Тогда можно показать, что всегда найдется k, такое что R(k) делится на n, обозначим A(n) минимальное из подходящих k. Например, A(7) = 6, А(41) = 5.

Нас интересует отношение n/A(n). Для n<90, n для которого отношение n/A(n) минимально равно 61. 

Найдите n для которого n/A(n) минимально среди n<1234567.

Натуральное число N назовем "некрасивым", если оно не может быть представлено в виде суммы некоторого натурального числа M и всех цифр числа M. Найдите сумму всех "некрасивых" чисел, меньших 10 миллионов.

Числа, состоящие только из единиц называют репьюнитами. Обозначим через R(k) репьюнит длиной k, например, R(6) = 111111.
Пусть n-натуральное число, взаимно простое с 10. Можно доказать, что всегда существует число k, для которого R(k) кратно n. Обозначим через A(n) минимальное такое число, например, A(7) = 6 и A(41) = 5.
Для любого простого p > 5 число p−1 кратно A(p). Например, при p = 41 A(41) = 5 и 41-1 делится на 5.
Однако изредка попадаются и составные числа, обладающие этим свойством. Первые пять из них: 91, 259, 451, 481 и 703.
Найдите n - пятидесятое взаимно простое с 10 составное число, для которого n−1 делится на A(n).