В полоске, состоящей из пяти черных квадратов, будем заменять несколько идущих подряд клеток на прямоугольники разных цветов. При этом прямоугольники 2 × 1 будут красного цвета, 3 × 1 - зеленого, 4 × 1 - синего, а прямоугольник длиной 5 клеток окрасим в желтый цвет.

Используя красные прямоугольники, это можно сделать ровно семью способами:

Для зеленых прямоугольников есть три варианта:

Синие прямоугольники можно поставить только двумя способами:

А для желтых прямоугольников возможен один единственный вариант:

Итак, используя цветные прямоугольники какого-либо одного из имеющихся цветов, можно заменить часть черных квадратов в полоске длиной 5 единиц 7 + 3 + 2 + 1 = 13 способами.

Сколькими способами можно заменить цветными прямоугольниками часть черных квадратов в полоске длиной 50 единиц, если можно использовать цветные полоски только одного из имеющихся четырех цветов, и использован хотя бы один цветной прямоугольник? ("Смешивать" цвета нельзя, т.е. как и в примере, каждая полоска может содержать лишь один цвет, не считая черного).

Заполним полоску из пяти клеток, используя черные квадраты и цветные прямоугольники: красные прямоугольники из двух клеток, зеленые прямоугольники из трех клеток, синие – из четырех и желтые из пяти клеток. Как видно из рисунка, это можно сделать шестнадцатью способами.

Сколько есть способов заполнения полоски из 50 клеток?

На плоскости нарисован квадрат, одна вершина квадрата имеет координаты (0,0), а противополжная по диагонали - (1000,1000). В каждой точке с целочисленными координатами, находящейся внутри квадрата, размещено наименьшее простое число ближайшее к длине радиус-вектора из начала координат в данную точку. Найдите сумму все простых чисел, размещенных в квадрате.

Найти количество единиц среди одного миллиона первых цифр десятичной записи числа sin (1).

Используя девять цифр от 0 до 8, объединяя их в группы и переставляя, можно образовать различные числовые множества. В частности, множество {2,61,487,503} состоит исключительно из простых чисел.

Сколько различных множеств можно сформировать, используя ровно один раз каждую цифру от 0 до 8, так, чтобы все элементы множества были простыми?
Замечание: натуральные числа не могут начинаться с нуля.

Число π начинается с комбинации цифр 3,14159... Найдите первое вхождение последовательности цифр "314" в десятичной записи числа π после запятой. В ответ введите количество знаков после запятой до этой последовательности. 

Матрицу {a_ij} 10 на 10 заполнили двузначными числами следующим образом: a₁₁=31, a₁₂=41, a₁₃=59,... В качестве значений элементов матрицы выбираются две очередные цифры десятичной записи числа π=3,1415926... Сначала заполняется первая строка, затем вторая и т.д. Найдите определитель такой матрицы.

Число 512 имеет интересное свойство: оно равно сумме своих цифр в некоторой степени: (5+1+2)³=512. Другое число с аналогичным свойством – 614656=28⁴.

Найдите сумму натуральных чисел, равных сумме своих цифр в некоторой целой степени и не превышающих 10¹⁴.

У вас есть много карточек с римскими цифрами. Выложите последовательно все числа от 1 до 3999.  Какое количество карточек вам потребуется?

Найдите количество 32-значных чисел в системе счисления с основанием 17, таких что их запись не содержит двух подряд идущих нулей.