Найдите количество различных троек натуральных чисел x < y  < z < 10⁷ таких, что xⁿ+yⁿ=z^m (n и m - натуральные, n>2, m>1).

Полупростым называется натуральное число, представимое в виде произведения двух простых чисел (не обязательно различных), например, 15 = 3 × 5; 9 = 3 × 3; 22 = 2 × 11.
Существует ровно десять полупростых чисел, не превышающих 30: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26. Их сумма равна 152.
Найдите сумму полупростых чисел, не превышающих 10⁸.

Рассмотрим различные тройки взаимно простых натуральных чисел x < y  < z < 10⁷ таких, что x²+y²=z². Найдите количество натуральных чисел p < 10⁷, которые не входят ни в одну такую тройку.

В ряду 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15,... представлены числа, которые имеют простые делители только числа 2, 3 и 5. Продолжите этот ряд и найдите число в этом ряду, которое находится на месте с номером 10000. 

Операция возведения в сверхстепень, или тетрация, обозначается как a↑↑b или ^ba, и определяется для натуральных a и b следующим образом:
a↑↑1 = a,
a↑↑(k+1) = a (a↑↑k).
Так, 3↑↑2 = 3³ = 27, отсюда 3↑↑3 = 3²⁷ = 7625597484987, а 3↑↑4 примерно равно 10^{3638334640024,1}.
Найдите 8 последних цифр числа 2011 ↑↑ (2011 ↑↑ 2011).

Есть N² ферзей N разных определённых цветов, по N ферзей каждого цвета. Обозначим как X(N) количество способов расставить все эти ферзи на шахматной доске размера N на N так, чтобы ферзи одного цвета не находились под ударом друг друга. Чему равна сумма X(3) + X(4) + X(5) + X(6) + X(7) + X(8) + X(9) + X(10)? (Координаты клеток доски, а также цвета ферзей, однозначно определены, поэтому разные позиции, подучающиеся одна от другой поворотом, симметрическим отображением или сменой цветов, считаются разными).

Пусть (x₁, x₂, ... , x_m) – такой набор положительных вещественных чисел, для которого выполняется условие x₁² + x₂² + ... + x_m² = m, а произведение P_m = x₁ * x₂² * ... * x_m^m принимает максимальное значение. Можно проверить, что [P₁₀] = 64 (здесь скобки [ ] означают целую часть числа).
А чему равно [P₂₅]?

В одном университете очень строго следят за посещаемостью и дисциплиной. Если в контрольный  период студент хотя бы дважды опаздывает или в течение любых трех дней подряд хотя бы дважды прогуливает, то его лишают стипендии.
Если контрольный период продолжается n дней, то его можно зашифровать строкой из n символов, используя букву L для опозданий, A для прогулов и O для дней, когда студент приходил на занятия вовремя.
Из 81 возможной строки для 4-дневного зачетного периода стипендиальным требованиям удовлетворяют 24 строки:

OOOO OOOA OOOL OOAO OOAL OOLO OOLA OAOO OAOL OALO OLOO OLOA OLAO AOOO AOOA AOOL AOLO AOLA ALOO ALOA LOOO LOOA LOAO LAOO

А сколько строк удовлетворяет стипендиальным требованиям для 30-дневного зачетного периода?

На Олимпиаде в Индии, которую проводил Маугли, в забегах приняли участие все животные - и жалкие дождевые черви, и вожак стаи старый Акелла, и даже злобный Шер-Хан. Их оказалось очень много - ровно 1 миллиард. Все животные получили последовательные номера от единицы и до одного миллиарда.

После первого забега победили участники у которых были нечетные номера, их заново пронумеровали - 1-й сохранил свой номер, участник с номером 3-й номер стал 2-м, с номером 5 - стал 3-м и так далее, проигрывшие выбыли из соревнования.

Во втором забеге победили все участники, которые имели четные номера, их также заново пронумеровали: 2-й стал 1-м, 4-й - 2-м, 6-й - 3-м и так далее.

Как потом выяснилось, и далее в нечетных забегах побеждали участники с нечетными номерами, а в четных - с четными, и каждый раз после очередного забега участников перенумеровывали по той же схеме.

В конце концов победила хитрая Багира. Выясните какой у нее был номер в начале сревнований?

Возьмем вещественное число x.
Наилучшим его приближением со знаменателем, не превышающим d, назовем несократимую дробь r/s (s≤d), такую, что у любого рационального числа, лежащего ближе к x, чем r/s, знаменатель будет больше, чем d:
|p/q-x| < |r/s-x| => q>d.
Например, наилучшим приближением числа √13 со знаменателем, не превышающим 20, будет дробь 18/5. А наилучшим приближением того же числа, но со знаменателем, не превышающим 30, будет 101/28.
Найдите сумму знаменателей наилучших приближений √n со знаменателем, не большим, чем 10¹², для всех простых чисел n, не превышающих 100000.