Известная задача от компании Google звучит так: найдите первое 10-значное простое число, состоящее из последовательных цифр в записи числа e. Немного усложним условие - найдите первое 11-значное число.

Рассмотрим граф, составленный из блоков A и B, показанных на рисунке:

Блоки соединяются вдоль вертикальных ребер в различном порядке, например, вот так:

Вершины графа будем раскрашивать, используя не более c цветов таким образом, чтобы связанные ребром вершины были окрашены в разные цвета.

Теперь подсчитаем, сколько разноцветных графов можно составить, используя a блоков A, b блоков B и не более c цветов.
Используя один блок A и три цвета, можно получить 24 различных графа. (a=1, b=0, c=3)
Используя два блока B и четыре цвета, можно получить 92928 различных графа. (a=0, b=2, c=4)
Используя два блока A, два блока B и три цвета, можно получить 20736 различных графа. (a=2, b=2, c=3)
А сколько различных графов можно получить, используя не более c=2011 цветов и 100 блоков A или B (a+b=100), так, чтобы a и b были четными числами?
В качестве ответа укажите 8 последних цифр результата.

Будем называть треугольник шестидесятиградусным, если он имеет хотя бы один угол, равный 60 градусам, а длины его сторон выражаются целыми числами.
Обозначим через r радиус вписанной в такой треугольник окружности.
Существует 1580 различных шестидесятиградусных треугольников с r ≤ 100.
Обозначим через T(n) количество различных шестидесятиградусных треугольников с r ≤ n.
Тогда T(100) = 1580, T(1000) = 26231 и T(10000) = 394553.
Найдите T(2000000).

Назовем натуральное число дважды квадратным, если оно является квадратом натурального числа и из его цифр можно составить большее число, также являющееся квадратом натурального числа. Например, 256 = 16² - дважды квадратное, поскольку 625=25². Найдите количество дважды квадратных чисел, меньших 10¹⁵.

Построим треугольник из натуральных чисел так, как показано на рисунке, и отметим в нем простые числа:

1          
2   3         
4   5   6        
7   8   9  10       
11 12 13 14 15      
16 17 18 19 20 21     
22 23 24 25 26 27 28    
29 30 31 32 33 34 35 36   
37 38 39 40 41 42 43 44 45  
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 
56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
…

Каждое число в этом треугольнике может иметь до восьми соседей.
Будем называть тройку простых чисел простым триплетом, если два из них являются соседями третьего. Например, числа 2 и 3 из второй строки треугольника являются элементами одного простого триплета.
В восьмой строке два простых числа являются элементами простых триплетов, а именно 29 и 31.
В девятой строке только число 37 является элементом простого триплета.
Обозначим через S(n) сумму простых чисел в n-ой строке, являющихся элементами простых триплетов.
Так, S(8)=60, S(9)=37, а S(10000)=950007619.

Найдите max(S(n)) при 3000000<=n<3000010

Подсчитать количество 100-значных натуральных чисел, в которых суммы цифр в двоичной и десятичной системах счисления совпадают.

Какое наименьшее число N можно представить в виде произведения N = A?B ровно 64 способами? Произведения A?B и B?А считаются одним способом, все числа натуральные.

Рассмотрим функцию ([] означает округление вниз) и последовательность u(n), заданную следующим образом:

u(0) = 10⁹
u(n+1) = f(u(n))

Найдите u(10¹⁸).

Возьмем некоторое вещественное число x, и будем рассматривать его рациональные приближения, записывая их в виде несократимой дроби p/q.
Для данного x назовем наилучшим приближением с максимальным знаменателем d такое рациональное число r/s, для которого
1. s ≤ d
2. для любого лучшего рационального приближения p/q знаменатель q будет больше, чем d (из |x-p/q|<|x-r/s| следует q > d).
Как правило, у вещественных чисел имеется только одно наилучшее приближение с выбранным максимальным знаменателем. Однако есть и исключения. Например, число 9/40 имеет два наилучших приближения для максимального знаменателя 1/6, а именно 1/4 и 1/5. Если хотя бы для одного максимального знаменателя число имеет два различных наилучших приближения, мы будем называть такое число двойственным. Ясно, что все двойственные числа являются рациональными.
Сколько существует двойственных чисел x = p/q, 1/30 ≤ x < 1/20, у которых знаменатель q не превышает 10⁸?

Даны наборы чисел (x_n, y_n, r_n), n=1,...100, задающие окружности с центром в точке с координатами (x_n, y_n)  и радиусом r_n.  Эти числа выбираются так двухзначные числа состоящие из цифр после запятой  в записи числа π, стоящие соответственно для x_n - на n и n+1 местах,  для y_n - на n+2 и n+3 местах, и r_n - на n+4 и n+5 местах. Таким образом, x₁=14, y₁=15, r₁=92 и т.д. Найдите количество точек пересечения (включая точки касания) этих окружностей.