Объясним правила карточной игры в покер (для разновидности "Техасский Холдем").

Достоинства карт обозначаются так:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, В (валет), Д (дама), К (король), Т (туз),

а масти:
♥ - черви, ♦ - бубны, ♣ - трефы, ♠ - пики.

Возможны следующие комбинации карт в порядке убывания старшинства.

Роял-флаш: старшие (туз, король, дама, валет, десять) пять карт одной масти, например: Т♥ К♥ Д♥ В♥ 10♥.

Стрейт-флаш: любые пять карт одной масти по порядку, например: 9♠ 8♠ 7♠ 6♠ 5♠.
Каре: четыре карты одного достоинства, например: 3♥ 3♦ 3♣ 3♠ 10♥.
Фул-хаус: три карты одного достоинства и одна пара, например: 10♥ 10♦ 10♠ 8♣ 8♥.
Флаш: пять карт одной масти, например: К♠ В♠ 8♠ 4♠ 3♠.
Стрейт: пять карт по порядку любых мастей, например: 5♦ 4♥ 3♠ 2♦ Т♦. Туз может как начинать порядок, так и заканчивать его. В данном примере Т♦ начинает комбинацию и его достоинство оценивается в единицу, а 5♦ считается старшей картой.
Тройка: три карты одного достоинства, например: 7♣ 7♥ 7♠ K♦ 2♠.
Две пары: две пары карт, например: 8♣ 8♠ 4♥ 4♣ 2♠.
Пара: две карты одного достоинства, например: 9♥ 9♠ Т♣ В♠ 4♥.
Старшая карта: ни одной из вышеописанных комбинаций, например: Т♦ 10♦ 9♠ 5♣ 4♣.

При совпадении комбинаций более сильной является комбинация со старшими картами, например 8♣ 8♠ 4♥ 4♣ 2♠ старше, чем 7♣ 7♠ 5♥ 5♣ K♠. Комбинация 6♠ 5♦ 4♥ 3♠ 2♦  старше, чем 5♦ 4♥ 3♠ 2♦ Т♦.
При совпадении комбинаций и старших карт, сравниваются оставшиеся карты по одной в порядке убывания, например: Т♦ 10♦ 9♠ 5♣ 4♣ сташе, чем Т♣ 10♣ 9♦ 5♠ 3♣.
Если достоинства карт совпадают, то - ничья.

Вначале каждому игроку раздаются по две карты, а затем во время игры на стол выкладываются еще 5 общих карт. Победителем считается тот игрок, карты которого образуют с общими картами наиболее сильную комбинация из 5 карт.

Например, если карты первого игрока Т♣ В♣ и второго - Т♥ В♥, а общие карты - В♣ К♣ К♥ К♦ К♠. Тогда старшая кобминация первого - Т♣ К♣ К♥ К♦ К♠, второго - Т♥ К♣ К♥ К♦ К♠, в данном случае ничья.

При раздаче карт первый игрок получл Т♥ Т♣, а второй игрок - K♦ K♠.

Какова вероятность выигрыша первого игрока?
Округлите результат, оставив три знака после запятой. В ответ запишите только эти три цифры.

Число "гугол" (googol) 10¹⁰⁰ - довольно большое, но сумма его цифр равна 1. Найдите максимальную сумму цифр чисел mⁿ, 0<m<2⁸, 0<n<2⁸.

Известно, что √3 = 1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + ...

То есть может быть представлен как цепная дробь с периодом (1, 2).

Посчитаем частичные суммы такой цепной дроби:

1 + 1/(1 + 1/2) = 5/3

1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/2))) = 19/11

1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/2))))) = 71/41

Следующие частичные суммы дают такие дроби: 265/153, 989/571, 3691/2131, 13775/7953,...

Для последней из записанных дробей - числитель имеет больше цифр чем знаменатель. Среди первых 2009 таких частичных сумм найдите дроби у которых цифр в числителе больше чем в знаменателе. В ответе укажите количество таких дробей.

Рассмотрим спираль из натуральных чисел:

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18  5  4  3 12 29
40 19  6  1  2 11 28
41 20  7  8  9 10 27
42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49

Спираль формируется так: в центре 1, а затем числа последовательно  дописываются по спирали против часовой стрелки. Нас интересуют только числа находящиеся на одной горизонтали или вертикали с единицей. Для спирали с длиной стороны 7 доля простых среди них 4/13. Рассмотрите спирали с нечетными длинами сторон. Найдите спираль минимального размера, но большую чем дана в примере, для которой доля простых среди чисел меньше 1/10. В ответе запишите длину стороны такой спирали.

Математик R сказал математикам P и S: "Я задумал два различных натуральных числа меньших 123. Математику P я сейчас сообщу - по секрету от S - произведение этих чисел, а математику S я сообщу - по секрету от P - их сумму".

Он выполнил обещанное и предложил отгадать задуманные числа. Между P и S произошёл следующий диалог:

S: "Я не могу сказать, чему равны задуманные числа."

P: "Я не могу сказать, чему равны задуманные числа."

S: "Я не могу сказать, чему равны задуманные числа."

P: "Я не могу сказать, чему равны задуманные числа."

S: "Я не могу сказать, чему равны задуманные числа."

P: "Я не могу сказать, чему равны задуманные числа."

S: "А ведь тогда я их знаю!"

Какие числа задумал математик R? Введите оба числа: сначала меньшее, потом большее. Например, если ответом на задачу являются числа 34 и 12, то введите 1234. 

Найдите сумму всех натуральных чисел N<10⁹, которые делятся на 11 и N/11 равно сумме квадратов цифр N.

Найдите сумму первых 6 натуральных чисел, у которых последняя цифра – 6, и каждое из них увеличивается в 4 раза от перестановки последней цифры в начало.

Найти наибольшее значение, которое может принять произведение нескольких натуральных чисел, сумма которых равна 2009.

Найдите сумму всех натуральных чисел n таких, что (2ⁿ + 1)/n² является натуральным числом.

Натуральные числа (a,b) такие, что число ab(a + b) не делится на 7, а число (a + b)⁷ – a⁷ – b⁷ делится на 7⁷. Чему равно минимальное произведение a*b таких чисел?