Объясним правила карточной игры в покер (для разновидности "Техасский Холдем").

Достоинства карт обозначаются так:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, В (валет), Д (дама), К (король), Т (туз),

а масти:
♥ - черви, ♦ - бубны, ♣ - трефы, ♠ - пики.

Возможны следующие комбинации карт в порядке убывания старшинства.

Роял-флаш: старшие (туз, король, дама, валет, десять) пять карт одной масти, например: Т♥ К♥ Д♥ В♥ 10♥.

Стрейт-флаш: любые пять карт одной масти по порядку, например: 9♠ 8♠ 7♠ 6♠ 5♠.
Каре: четыре карты одного достоинства, например: 3♥ 3♦ 3♣ 3♠ 10♥.
Фул-хаус: три карты одного достоинства и одна пара, например: 10♥ 10♦ 10♠ 8♣ 8♥.
Флаш: пять карт одной масти, например: К♠ В♠ 8♠ 4♠ 3♠.
Стрейт: пять карт по порядку любых мастей, например: 5♦ 4♥ 3♠ 2♦ Т♦. Туз может как начинать порядок, так и заканчивать его. В данном примере Т♦ начинает комбинацию и его достоинство оценивается в единицу, а 5♦ считается старшей картой.
Тройка: три карты одного достоинства, например: 7♣ 7♥ 7♠ K♦ 2♠.
Две пары: две пары карт, например: 8♣ 8♠ 4♥ 4♣ 2♠.
Пара: две карты одного достоинства, например: 9♥ 9♠ Т♣ В♠ 4♥.
Старшая карта: ни одной из вышеописанных комбинаций, например: Т♦ 10♦ 9♠ 5♣ 4♣.

При совпадении комбинаций более сильной является комбинация со старшими картами, например 8♣ 8♠ 4♥ 4♣ 2♠ старше, чем 7♣ 7♠ 5♥ 5♣ K♠. Комбинация 6♠ 5♦ 4♥ 3♠ 2♦  старше, чем 5♦ 4♥ 3♠ 2♦ Т♦.
При совпадении комбинаций и старших карт, сравниваются оставшиеся карты по одной в порядке убывания, например: Т♦ 10♦ 9♠ 5♣ 4♣ сташе, чем Т♣ 10♣ 9♦ 5♠ 3♣.
Если достоинства карт совпадают, то - ничья.

Вначале каждому игроку раздаются по две карты, а затем во время игры на стол выкладываются еще 5 общих карт. Победителем считается тот игрок, карты которого образуют с общими картами наиболее сильную комбинация из 5 карт.

Например, если карты первого игрока Т♣ В♣ и второго - Т♥ В♥, а общие карты - В♣ К♣ К♥ К♦ К♠. Тогда старшая кобминация первого - Т♣ К♣ К♥ К♦ К♠, второго - Т♥ К♣ К♥ К♦ К♠, в данном случае ничья.

При раздаче карт первый игрок получл Т♥ Т♣, а второй игрок - K♦ K♠.

Какова вероятность выигрыша первого игрока?
Округлите результат, оставив три знака после запятой. В ответ запишите только эти три цифры.

Рассмотрим игру «монополия». Игровое поле следующее:

Движение происходит следующим образом: каждый игрок своим ходом кидает два 6-гранных кубика, и сдвигает фишку на число клеток в сумме выпавших на кубиках. Исключением является случай, когда игрок три раза подряд выкидывает дубль (одинаковые числа на кубиках), в таком случае он попадает на клетку тюрьмы (JAIL). Также, если игрок сдвинув фишку попадает на «G2J», то он перемещается в тюрьму.

Игрок начинает с клетки GO и каждый ход бросает пару кубиков и свдигает фишку на сумму чисел выпавших на кубиках по часовой. Если бы не было дополнительных правил — ожидаемым было бы, что вероятности попадения на каждую клетку после броска равна 1/40. Но попадания на клетки G2J(Go to jail, отправляйтесь в тюрьму), CC(извещение) и CH(шанс) изменяет это распределение. Также существует правило, согласно которому если игрок выкидывает три раза дубль (одинаковые значения на кубиках), то вместо третьего хода он попадает в тюрьму.

Вначале игры все карты CC и CH перетасованы. Когда игрок становится на одну из таких клеток верхняя карта колоды снимается и после использования кладется под низ. В каждой стопке по 16 карт, часть из которых содержит предписания о перемещении на какую-то из клеток карты, остальные нам не важны. Вот эти карты:

• Извещения (2/16 cards):

  1. к старту (GO)

  2. в тюрьму (JAIL)

• Chance (10/16 cards):

  1. К старту (GO)

  2. В тюрьму (JAIL)

  3. На клетку C1

  4. На клетку E3

  5. На клетку H2

  6. На клетку R1

  7. К следующей клетке R (ЖД компания)

  8. К следующей клетке R

  9. К следующей клетке U (Коммунальное предприятие)

  10. Назад на 3 клетки

Ваша задача определить вероятность закончить ход на каждой из клеток после очередного броска кубиков. Очевидно что вероятность для Jail наибольшая, G2J нулевая. Считается что игрок не задерживается в тюрьме. Пронумеруем все клетки от 0(GO) до 39(H2) и найдем вероятности для каждой клетки. Три макимальные вероятности получаются для клеток JAIL(10), 6.24%; E3(24), 3.18% и GO(0), 3.09%.

В какой-то момент вы потеряли кубик и потому решили обходиться для игры монеткой, подкидывая ее три раза и считая что орел - 1, а решка - 2. При этом "дублем" считается выпадения все три раза либо орла, либо решки. Найдите при таком способе игры 5 наиболее популярных клеток и в ответе укажите сумму их номеров.

Механизм кодиpовки для фоpмата MIME64 (Multitask Internet Mail Extensions) следующий:
1) исходный 8-битовый текст pассматpивается как последовательность битов; она pазбивается, слева напpаво, на 6-битовые отpезки (если последний отpезок "неполный", то он дополняется битовыми нулями);
2) каждая 6-битовая комбинация тpактуется как число из диапазона 0..63;
3) число заменяется символом с соответствующим поpядковым номеpом из стpоки-шаблона, состоящей из 26 заглавных букв латинского алфавита (A..Z), 26 стpочных букв того же алфавита (a..z), цифp (0..9) и символов "+" и "/", то есть из стpоки:

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz 0123456789+/

В результате кодировки получилась фраза: UHJvamVjdC8vRGlvZmFudCtpbnR1aXQrb3NwLy9ydQ0K.

Введите текст, который был закодирован.

Игра проводится по следующим правилам.

Вначале в коробку кладут два шара - синий и красный. За ход предлагается вынуть наугад один из шаров. Затем вынутый шар возвращается в коробку и вдобавок в коробку кладется два шара красного цвета. Таких ходов делается n. Игра считается выигранной, если количество вынутых синих больше чем вынутых красных. Для n=3 вероятность выиграть равна 5/24. Если игра стоит 1 рубль, то максимальный целый выигрыш, который крупье может предложить, чтобы в среднем выигрывать, 4 рубля.

Найдите какой максимальный выигрыш можно предложить для аналогичной игры с 13 ходами.

Шахматный осел - это фигура, которая за один ход из клетки с координатами (x,y) может пойти в одну из 4-х клеток (x+2,y), (x,y+3), (x+1,y-1), (x-1,y). На шахматную доску 8х8 ставят случайным образом четырех ослов на разные клетки. Каждую секунду все ослы одновременно делают ход, при этом на одной клетке могут находиться несколько ослов. Необходимо собрать всех ослов на одной клетке за минимальное время. Найдите математическое ожидание этого минимального времени (в секундах) и выведите его с девятью знаками после запятой, то есть в формате a.bcdefghij.

На клетчатой доске 30 х 30 сидит 900 блох, по одной блохе в каждой клетке.
Когда звенит колокольчик, блохи одновременно прыгают.
Блоха, сидящая в углу доски, приземляется на одну из двух соседних клеток с равной вероятностью 1/3 и с такою же вероятностью 1/3 возвращается на прежнее место.
Блоха, сидящая у края доски, приземляется на одну из трех соседних клеток с равной вероятностью 1/4 и с такою же вероятностью 1/4 возвращается на прежнее место.
Блоха, сидящая во внутренней части доски, приземляется на одну из четырех соседних клеток с равной вероятностью 1/5 и с такою же вероятностью 1/5 возвращается на прежнее место.
Найдите математическое ожидание количества незанятых блохами клеток после пятидесяти звонков. Результат умножьте на миллион и округлите до ближайшего целого. 

Братья-математики Коля и Даня решили поиграть по следующим правилам.
Коля бросает монетку и, если выпадает орел, получает на свой счет очко, а если решка – не получает ничего.
Даня выбирает натуральное число T и бросает монетку T раз. Если при этом хотя бы раз выпадает решка, Даня не получает ничего, но если T раз выпадет орел, он получает сразу 2^T-1 очков.
Цель игры – набрать первым ровно 100 очков. Если игрок (очевидно, это может быть только Даня) наберет больше 100 очков, он считается проигравшим.
Какова вероятность выигрыша Дани, если он будет играть наилучшим образом, а первым ходит Коля?
Результат умножьте на 1000000 и округлите вниз до целого.

Мальчику подарили развивающую игру-пазл "числовая змейка", состоящую из 40 фигурных элементов, которые можно собирать цепочкой один за другим и только в определенной последовательности. Элементы перенумерованы в соответствии с этой последовательностью числами от 1 до 40.

Каждый вечер папе приходится собирать элементы, разбросанные по полу в детской. Он подбирает их по одному случайным образом и сразу ставит на нужное место. При этом они образуют несколько готовых отрезков из нескольких идущих подряд элементов, должным образом соединенных между собой. Понятно, что сначала, до того как папа начинает выкладывать змейку, таких отрезков нет, когда он кладет первый элемент, получается один отрезок, состоящий из единственного элемента, а в конце работы остается  также один отрезок, состоящий из всех 40 элементов. По ходу дела количество готовых отрезков может увеличиваться и уменьшаться, достигая в какой-то момент максимума. Вот пример его работы:

Обозначим через M максимальное количество готовых отрезков, которое достигалось в процессе сборки. В таблице ниже приведено количество вариантов сборки, при которых наблюдаются максимальные числа отрезков M для змейки, состоящей из 10 элементов.

Как видно, наиболее вероятное значение M равно 3, и оно реализуется 1815264 различными способами, а 181526 — это первые шесть значащих цифр данного числа.
Найдите наиболее вероятное значение M для змейки из 40 элементов и количество способов сборки, при которых достигается это число. В качестве ответа укажите первые шесть значащих цифр результата.

Представьте, что у вас появилась возможность вложить свой трудовой рубль и стать рублевым миллиардером.
Правила такие:
У вас есть один трудовой рубль. Каждый день вы инвестируете некоторую долю своего капитала  f , которую вы должны зафиксировать  раз и навсегда. Известно, что на следующий день ваши инвестиции удваиваются с вероятностью 1/2, но с такою же вероятностью вы их теряете.
Например, если вы выбрали f=1/4, то в первый день вы инвестируете 0,25 руб. Допустим, вам сопутствовала удача. Тогда к вечеру у вас будет 1,5 руб., и назавтра вы инвестируете 0,375 руб. Если фортуна на этот раз от вас отвернется, через два дня у вас останется 1,125 руб., а если повезет — 1,875 руб. Таким образом, при f=1/4 через два дня ваш капитал превысит 1,5 руб. с вероятностью 25%.
Вы решили стать миллиардером с вероятностью не менее 99% за минимальное количество дней. Сколько именно дней вам нужно запланировать на это, если вы выберете оптимальное значение f?

Альберт выбирает натуральное число k и два случайных вещественных числа, a и b, равномерно распределенных на промежутке [0,1]. Затем он вычисляет квадратный корень из суммы (k·a + 1)² + (k·b + 1)² и округляет его вниз до целого. Если результат оказывается равным k, Альберт получает k очков, в противном случае он не получает ничего.
По окончании игры Альберт получает 1000 руб. за каждое очко.
Можно подсчитать, что после 10 туров с k=1, k=2,: k=10 математическое ожидание выигрыша составит примерно 12059 руб. 48 коп.
Каково будет математическое ожидание выигрыша после 10⁵ туров с k=1, k=2, k=3, ..., k=10⁵? Дайте ответ в копейках, округлив его до ближайшего целого.