Рассмотрим четырехзначные простые числа с повторяющимися цифрами. Ясно, что все цифры не могут быть одинаковы: 1111 делится на 11, 2222 делится на 22, и т.д. Но есть девять четырехзначных простых чисел, содержащих три единицы:
1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111
Обозначим через M(n, d) максимально возможное количество повторяющихся цифр в n-значном простом числе, где d - повторяющаяся цифра. Пусть N(n, d) - количество таких чисел, а S(n, d) - их сумма.
Тогда M(4, 1) = 3 - максимальное количество единиц в четырехзначном простом числе, всего существует N(4, 1) = 9 таких чисел, а их сумма равна S(4, 1) = 22275. Оказывается, что при d = 0 в четырехзначном простом числе может быть не более M(4, 0) = 2 нулей, и N(4, 0) = 13.
Таким образом, мы получим следующие результаты для четырехзначных простых чисел:

Найдите сумму всех S(n, d) для 3 ≤ n ≤ 10 и 0 ≤ d ≤ 9.

На рисунке изображена прямоугольная полоска из восьми выстроенных в ряд клеток. Идущие подряд клетки одного цвета образуют блоки. При этом красные блоки содержат не менее трех клеток, а черные – не менее двух. Как видно из рисунка, полоску из восьми клеток можно раскрасить таким образом четырнадцатью способами.

Сколькими способами можно раскрасить полоску из 50 клеток, следуя тем же правилам?

Замечание: Это более сложный вариант задачи 114.

Как и в задаче 114, будем рассматривать прямоугольные полоски, состоящие из n выстроенных в ряд клеток. Идущие подряд клетки одного цвета образуют блоки. При этом красные блоки содержат не менее m_r клеток, а черные – не менее m_b.

Обозначим через F(m_r, m_b,n) число способов, которым такая полоска может быть построена, например F(3, 2, 8)=14 (см. рисунок).

Кроме того, F(3, 2, 34)= 856506 и F(3, 2, 35)= 1309554.

Это означает, что n=35 – минимальное значение, при котором функция F(3, 2,n) превосходит миллион.

Аналогично, F(5, 3, 46) = 849735 и F(5, 3, 47)= 1172897, и 47 – первое значение n, при котором F(5, 3, n) больше миллиона.

Найдите минимальное значение n, при котором F(111, 100, n) > 1 000 000.

Всем известно, что уравнение x²=-1 не имеет решений для вещественных x.
Однако, перейдя в область комплексных чисел, мы найдем два корня: x=i и x=-i.
Уравнение (x-3)²=-4 имеет два решения: x=3+2i и x=3-2i. Их называют комплексно-сопряженными.
Гауссовыми целыми называют комплексные числа a+bi, у которых a и b целые. Обычные целые числа тоже, конечно, являются гауссовыми целыми с b=0. Чтобы отличить их от гауссовых целых с b≠0, мы будем называть их "рациональными целыми". Гауссово целое будем называть делителем рационального целого n, если частное также является гауссовым целым.
Например, если мы делим 5 на 1+2i, получим

Поскольку 1-2i – гауссово целое, число 1+2i является делителем 5.

С другой стороны, 1+i не является делителем 5, поскольку .

Заметим, что если гауссово целое (a+bi) является делителем рационального целого n, то и комплексно-сопряженное (a-bi) также будет делителем n.
Таким образом, число 5 имеет ровно 6 делителей с положительной вещественной частью: {1, 1 + 2i, 1-2i, 2 + i, 2-i, 5}.
В таблице приведены все делители с положительной вещественной частью первых пяти положительных рациональных целых.

Электрическая цепь состоит из одинаковых конденсаторов емкостью C. Конденсаторы можно соединять последовательно или параллельно в блоки, которые также можно соединять последовательно или параллельно в "суперблоки" большего размера, и так далее.

Используя эту процедуру и не более n одинаковых конденсаторов, мы можем собрать некоторое количество цепей различной суммарной емкости. Например, используя не более 3 конденсаторов с электрической емкостью 60μF каждый, мы можем получить 7 различных значений общей емкости цепи:

(Известно, что, соединяя конденсаторы C₁, C₂ … параллельно, мы получим общую емкость C_T=C₁+C₂+..., а соединяя последовательно – общую емкость )
Если мы обозначим через D(n) количество различных значений емкости электрических цепей, которые можно собрать, используя не более n одинаковых конденсаторов, то получим D(1)=1, D(2)=3, D(3)=7,...
Найдите D(19).