Рассмотрим сколькими способами можно представить натуральное число n в виде суммы степеней 2, используя при этом каждую из степеней не более чем дважды. Полученное число обозначим через f(n).
Например, f(10)=5, поскольку существует ровно пять способов выразить число 10 указанным образом:
10 = 8+2 = 8+1+1 = 4+4+2 = 4+4+1+1 = 4+2+2+1+1
Приняв, что f(0)=1, запишем  последовательность рациональных чисел f(n)/f(n-1):
1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/3, 3/2…
В этой последовательности число 2/3 находится на пятом месте, а число 13/17 – на 241-ом.
На каком месте в этой последовательности расположено число 231721/134654?

У каждого из четырех прямоугольных треугольников со сторонами (9,12,15), (12,16,20), (5,12,13) и (12,35,37) длина одного из катетов равна 12. Можно доказать, что других прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной 12 нет. Таким образом, различных прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной 12 существует ровно четыре.
Для какого наименьшего целого числа a количество различных прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной a в точности равно 39062?

Рассмотрим три семейства функций:

f_1,n(x,y,z) = xⁿ⁺¹ + yⁿ⁺¹ – zⁿ⁺¹

f_2,n(x,y,z) = (x y + y z + z x)*(x^n-1 + y^n-1 – z^n-1)

f_3,n (x,y,z) = – x y z * (x^n-2 + y^n-2 – z^n-2)

и их сумму:

f_n (x,y,z) = f_1,n (x,y,z) + f_2,n (x,y,z) + f_3,n (x,y,z)

Будем называть (x,y,z) золотой тройкой порядка k, если x, y и z – положительные рациональные числа, представимые в виде правильных дробей со знаменателем, не превышающим k, и существует такое целое n, что f_n (x,y,z) = 0

Обозначим через s(x,y,z) = x + y + z.

Найдите сумму всех различных значений s для золотых троек порядка 50. Результат округлите до ближайшего целого. 

Рассмотрим число 44456656. Заметим, что соседние десятичные цифры в его десятичной записи отличаются не более чем на единицу. Будем называть такие натуральные числа ступенчатыми.
Найдите, сколько существует ступенчатых чисел, не превышающих 10⁴⁰ и содержащих в своей десятичной записи все цифры от 0 до 9.

Возьмем натуральное число N и разделим его на k равных частей r=N/k. Тогда N = r + r + ... + r. Обозначим через P произведение этих частей: P = r × r × ... × r = r^k. Например, если разделить 11 на пять равных частей (11 = 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2), P окажется равным 2.2⁵ = 51.53632. Обозначим через P_max(N) максимальное значение P, которое можно получить для данного значения N. Оказывается, что для N=11 максимум достигается при k=4: P_max= (11/4)⁴= 14641/256 = 57.19140625. Это число является конечной десятичной дробью. Однако для N=8 максимум достигается при разбиении на три части: P_max= 512/27, и это число не может быть представлено в виде конечной десятичной дроби. Определим функцию D(N) как число десятичных знаков после запятой в P_max(N) для случая, когда P_max(N) представимо конечной десятичной дробью. В случае, когда P_max(N) не может быть представлено в виде конечной десятичной дроби, будем считать, что D(N)=0. Например, D(11)=8, D(8)=0. Для 5 ≤ N ≤ 100 ΣD(N)=1027. Найдите ΣD(N) для 5 ≤ N ≤ 10000.