Клетки квадрата 4х4 заполнены цифрами от 0 до 9 таким образом, что суммы цифр в строках, в столбцах и в двух главных диагоналях таблицы равны. Например, в этой таблице

6 3 3 0
5 0 4 3
0 7 1 4
1 2 4 5

такие суммы равны 12.
Сколько есть способов заполнить таблицу 4х4 цифрами от 0 до 9 так, чтобы суммы цифр в строках, в столбцах и в двух главных диагоналях таблицы оказались равны и не превышали 15?

Для натурального числа n обозначим через g(n) число, полученное перестановкой двух последних цифр в начало, например g(153846)= 461538. Оказывается, что для числа 153846 g(n) кратно n. Действительно, 461538=153846×3. Кроме того, g(n)≠n.

Найдите 5 последних цифр суммы всех натуральных n, не превышающих 10¹⁰⁰, для которых g(n) кратно n и g(n)≠n.

Рассмотрим сколькими способами можно представить натуральное число n  в виде суммы степеней 2, используя при этом каждую из степеней не более чем четырежды. Полученное число обозначим через f(n).

Например, f(11)=7, поскольку число 11 можно записать указанным образом ровно семью способами:

11=8+2+1
11=8+1+1+1
11=4+4+2+1
11=4+4+1+1+1
11=4+2+2+2+1
11=4+2+2+1+1+1
11=2+2+2+2+1+1+1

Найдите f(10¹⁰).

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами 84, 2103,  9657. Заметьте, что, записав три измерения этого параллелепипеда в десятичной системе счисления, мы использовали каждую цифру ровно один раз. Будем  называть такой параллелепипед интересным.
Также заметим, что данный параллелепипед обладает еще одним свойством: его объем равен 1705928364, и запись этого числа тоже содержит каждую цифру ровно один раз. Интересный параллелепипед, обладающий этим свойством, будем называть очень интересным.
Найдите наибольший объем очень интересного параллелепипеда.

Обозначим через f(n) сумму кубов десятичных цифр натурального числа n, например:
f(5)=5³=125
f(27)= 2³+7³=351
f(31321)= 3³+1³+3³+2³+1³=64
Найдите последние девять цифр суммы всех n, не превышающих 10²⁰, для которых f(n) является кубом натурального числа.

Сколько существует 18-значных чисел, в десятичной записи которых
нет нулей,
не более одной единицы,
не более двух двоек,
не более трех троек,
не более четырех четверок,
не более пяти пятерок,
не более шести шестерок,
не более семи семерок,
не более восьми восьмерок,
и не более девяти девяток?