Радикалом числа n, rad(n), называют произведение различных простых делителей числа n. Например 1008 = 2⁴×3²×7, следовательно rad(1008) = 2×3×7 = 42.

Если мы вычислим все rad(n) для 1 ≤ n ≤10, отсортируем их по значению rad(n), а затем по значению n (при равных rad(n)), то получим:

До сортировки			После сортировки
n	rad(n)		n	rad(n)	k
1	1		1	1	1
2	2		2	2	2
3	3		4	2	3
4	2		8	2	4
5	5		3	3	5
6	6		9	3	6
7	7		5	5	7
8	2		6	6	8
9	3		7	7	9
10	10		10	10	10

Обозначим через E(k) k-ый элемент в отсортированной колонке n, например, E(4) = 8 и E(6) = 9.

Если rad(n) отсортирован для 1 ≤ n ≤ 100000, найдите сумму всех E(k) для 1 ≤ k ≤ 50000.

Палиндромами называют числа, десятичные знаки которых расположены симметрично. Палиндром 595 интересен тем, что его можно представить в виде суммы семи последовательных квадратов натуральных чисел: 6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² + 12².

Существует ровно 5 палиндромов, не превышающих 1000, которые можно представить в виде суммы 5 и более последовательных квадратов. Их сумма равна 2609.

Найдите сумму всех палиндромов, не превышающих 10⁸, которые можно представить в виде суммы 5 и более последовательных квадратов.

Числа, состоящие только из единиц называют репьюнитами. Обозначим через R(k) репьюнит длиной k, например, R(6) = 111111.
Пусть n-натуральное число, взаимно простое с 10. Можно доказать, что всегда существует число k, для которого R(k) кратно n. Обозначим через A(n) минимальное такое число, например, A(7) = 6 и A(41) = 5.
Для любого простого p > 5 число p−1 кратно A(p). Например, при p = 41 A(41) = 5 и 41-1 делится на 5.
Однако изредка попадаются и составные числа, обладающие этим свойством. Первые пять из них: 91, 259, 451, 481 и 703.
Найдите n - пятидесятое взаимно простое с 10 составное число, для которого n−1 делится на A(n).

Для некоторых простых чисел p можно найти такое натуральное n, для которого выражение n³+ n²p является точным кубом.
Например, если p=19, то 8³+ 8²×19=12³.
Оказывается, для каждого простого p можно найти не более одного подходящего значения n, и есть только четыре подходящих простых числа, не превышающих сотни.
Найдите сумму всех простых чисел, обладающих указанным свойством и не превышающих одного миллиона.

Числа, состоящие только из единиц называют репьюнитами. Обозначим через R(k) репьюнит длиной k, например, R(6) = 111111.

Рассмотрим теперь репьюниты вида R(10ⁿ). Хотя R(10), R(100) и R(1000) не делятся на 17, R(10000) делится на 17 без остатка. Но оказывается, что нет таких n, для которых R(10ⁿ) делилось бы на 19. Из всех простых чисел, меньших ста только четыре, а именно 11, 17, 41 и 73, могут быть делителями R(10ⁿ) для некоторого n.

Найдите сумму всех простых чисел, меньших 200000, которые являются делителями R(10ⁿ) для какого-либо n.

Рассмотрим последовательные простые числа p₁ = 37 и p₂ = 41. Можно убедиться, что число S = 3441, является наименьшим числом, обладающим следующими свойствами:

1) S кратно p₁, и

2) последние цифры S образуют число p₂.

Для любых последовательных простых чисел p₂ >p₁> 5, можно найти наименьшее натуральное S, обладающее свойствами 1 и 2.

Найдите ∑S для всех пар последовательных простых чисел при 7 ≤ p₁ ≤ 1000000.

Для натуральных чисел x, y, z их суммы и разности x + y, x - y, x + z, x - z, y + z и y - z являются квадратами натуральных чисел. Найдите минимальное значение x + y.

Пусть ABC – треугольник, внутренние углы которого меньше 120 градусов, и пусть X – некоторая точка внутри треугольника, XA = p, XB = q и XC = r.
Ферма предложил Торричелли найти такое положение X, для которого сумма p + q + r обращается в минимум.
Торричелли удалось доказать, что если на сторонах треугольника ABC построить равносторонние треугольники AOB, BNC и AMC и описать вокруг них окружности, эти окружности пересекутся в общей точке T, лежащей внутри треугольника. Кроме того, он доказал, что точка T (называемая ныне точкой Торричелли-Ферма) минимизирует сумму p + q + r.

Оказывается, что когда сумма p + q + r обращается в минимум, AN = BM = CO = p + q + r, а отрезки AN, BM и CO также пересекаются в точке T.

Если для некоторого треугольника все числа a, b, c, p, q и r оказываются целыми, мы будем называть его треугольником Торричелли. Примером такого треугольника может служить треугольник со сторонами a = 399, b = 455 и c = 511.

Найдите сумму всех различных периметров треугольников Торричелли, не превышающих 300000.

В лазерной физике используют системы зеркал, которые действуют как линии задержки для проходящего лазерного луча. Луч входит в систему, многократно отражается от зеркал и, в конце концов, выходит обратно.

Мы рассмотрим такую линию задержки, имеющую форму эллипса с уравнением 4x² + y²= 100.

В верхней части эллипса сделано отверстие −0.01 ≤ x ≤ +0.01 для входа и выхода луча.

В нашей задаче луч направляется из точки с координатами (0,0;10,1) внутрь эллипса, где испытывает первое отражение в точке (1,4;-9,6),

Луч отражается по обычному закону "угол падения равен углу отражения". Иначе говоря, падающий и отраженный луч образуют с нормалью в точке падения равные углы.

На рисунке слева красной линией показана траектория луча к первым двум точкам отражения. Синим обозначена касательная к эллипсу в первой точке отражения. Наклон касательной в точке эллипса с координатами (x,y) можно найти по формуле: m = −4x/y. Нормаль перпендикулярна касательной в точке падения.

На анимированной картинке справа показаны первые 10 отражений луча.

Какой длины путь проделает луч внутри эллиптической системы задержки? Результат округлите до целого.

Обозначим через reverse(n) число, состоящее из тех же цифр, что и натуральное число n, но записанных в обратном порядке.

Для некоторых n в десятичной записи суммы n + reverse(n) используются только нечетные цифры. Такие n назовем обратимыми. Например, числа 36, 63, 409 и 904 обратимы, поскольку 36 + 63 = 99 и 409 + 904 = 1313.

Помня, что десятичная запись чисел не может начинаться с нуля, можно подсчитать, что ровно 120 обратимых чисел не превышают тысячи.

А сколько обратимых чисел не превышает 10²¹?