Клетки квадрата 4х4 заполнены цифрами от 0 до 9 таким образом, что суммы цифр в строках, в столбцах и в двух главных диагоналях таблицы равны. Например, в этой таблице

6 3 3 0
5 0 4 3
0 7 1 4
1 2 4 5

такие суммы равны 12.
Сколько есть способов заполнить таблицу 4х4 цифрами от 0 до 9 так, чтобы суммы цифр в строках, в столбцах и в двух главных диагоналях таблицы оказались равны и не превышали 15?

Для двух натуральных чисел a и b определим последовательность Улама следующим образом:
1.    U(a,b)₁ = a
2.    U(a,b)₂ = b
3.    U(a,b)_k > U(a,b)_k-1
4.    U(a,b)_k –наименьшее число, которое единственным образом можно представить в виде U(a,b)_k = U(a,b)_i + U(a,b)_j, где i<j<k.
Например, последовательность U(1,2) начинается со следующих чисел:
1, 2, 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, 6 = 2 + 4, 8 = 2 + 6, 11 = 3 + 8;
Число 5 не принадлежит последовательности, поскольку может быть представлено двумя способами (5 = 1 + 4 = 2 + 3), так же как и число 7 (7 = 1 + 6 = 3 + 4).
Найдите  ΣU(4,4n+1)_k для 1≤n≤7, где k = 10¹¹.

Для натурального числа n обозначим через g(n) число, полученное перестановкой двух последних цифр в начало, например g(153846)= 461538. Оказывается, что для числа 153846 g(n) кратно n. Действительно, 461538=153846×3. Кроме того, g(n)≠n.

Найдите 5 последних цифр суммы всех натуральных n, не превышающих 10¹⁰⁰, для которых g(n) кратно n и g(n)≠n.

Рассмотрим сколькими способами можно представить натуральное число n  в виде суммы степеней 2, используя при этом каждую из степеней не более чем четырежды. Полученное число обозначим через f(n).

Например, f(11)=7, поскольку число 11 можно записать указанным образом ровно семью способами:

11=8+2+1
11=8+1+1+1
11=4+4+2+1
11=4+4+1+1+1
11=4+2+2+2+1
11=4+2+2+1+1+1
11=2+2+2+2+1+1+1

Найдите f(10¹⁰).

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами 84, 2103,  9657. Заметьте, что, записав три измерения этого параллелепипеда в десятичной системе счисления, мы использовали каждую цифру ровно один раз. Будем  называть такой параллелепипед интересным.
Также заметим, что данный параллелепипед обладает еще одним свойством: его объем равен 1705928364, и запись этого числа тоже содержит каждую цифру ровно один раз. Интересный параллелепипед, обладающий этим свойством, будем называть очень интересным.
Найдите наибольший объем очень интересного параллелепипеда.

Обозначим через f(n) сумму кубов десятичных цифр натурального числа n, например:
f(5)=5³=125
f(27)= 2³+7³=351
f(31321)= 3³+1³+3³+2³+1³=64
Найдите последние девять цифр суммы всех n, не превышающих 10²⁰, для которых f(n) является кубом натурального числа.

Сколько существует 18-значных чисел, в десятичной записи которых
нет нулей,
не более одной единицы,
не более двух двоек,
не более трех троек,
не более четырех четверок,
не более пяти пятерок,
не более шести шестерок,
не более семи семерок,
не более восьми восьмерок,
и не более девяти девяток?

Ленточным прямоугольником толщины d назовем множество таких точек некоторого прямоугольника, расстояние которых до границы указанного прямоугольника не превышает d.

Будем рассматривать только ленточные прямоугольники, стороны и толщина которых выражаются натуральными числами, а удвоенная толщина меньше каждой из сторон.
На рисунке в качестве примера показаны два ленточных прямоугольника. Площадь каждого из них равна 28.

Сколько существует различных ленточных прямоугольников, площадь которых не превышает 1000000?
(Конгруэнтные ленточные прямоугольники следует считать одинаковыми)

Назовем квадратной рамкой плоскую фигуру, представляющую собой квадрат с вырезанным в нем квадратным отверстием, симметричную относительно вертикальной и горизонтальной осей и составленную из единичных квадратов.
Из восьми единичных квадратов можно составить единственную квадратную рамку размером 3х3 с отверстием 1х1 посередине. А из 32 квадратиков можно составить уже две рамки, как показано на рисунке:

Будем говорить, что натуральное число t относится к классу L(n), если из t квадратиков можно составить рамку n способами. Так, t = 8  относится классу L(1), а t = 32 принадлежит классу L(2).
Пусть N(n) – количество чисел t ≤ 1000000, принадлежащих классу L(n), например, N(15) = 832.
Найдите max(N(n)).

Рассмотрим сколькими способами можно представить натуральное число n в виде суммы степеней 2, используя при этом каждую из степеней не более чем дважды. Полученное число обозначим через f(n).
Например, f(10)=5, поскольку существует ровно пять способов выразить число 10 указанным образом:
10 = 8+2 = 8+1+1 = 4+4+2 = 4+4+1+1 = 4+2+2+1+1
Приняв, что f(0)=1, запишем  последовательность рациональных чисел f(n)/f(n-1):
1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/3, 3/2…
В этой последовательности число 2/3 находится на пятом месте, а число 13/17 – на 241-ом.
На каком месте в этой последовательности расположено число 231721/134654?