Лента событий:
MikeNik решил задачу "Треугольник в квадрате - 2" (Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
9
всего попыток:
13
В полоске, состоящей из пяти черных квадратов, будем заменять несколько идущих подряд клеток на прямоугольники разных цветов. При этом прямоугольники 2 × 1 будут красного цвета, 3 × 1 - зеленого, 4 × 1 - синего, а прямоугольник длиной 5 клеток окрасим в желтый цвет. Используя красные прямоугольники, это можно сделать ровно семью способами:
Для зеленых прямоугольников есть три варианта:
Синие прямоугольники можно поставить только двумя способами:
А для желтых прямоугольников возможен один единственный вариант: Итак, используя цветные прямоугольники какого-либо одного из имеющихся цветов, можно заменить часть черных квадратов в полоске длиной 5 единиц 7 + 3 + 2 + 1 = 13 способами. Сколькими способами можно заменить цветными прямоугольниками часть черных квадратов в полоске длиной 50 единиц, если можно использовать цветные полоски только одного из имеющихся четырех цветов, и использован хотя бы один цветной прямоугольник? ("Смешивать" цвета нельзя, т.е. как и в примере, каждая полоска может содержать лишь один цвет, не считая черного).
Задачу решили:
13
всего попыток:
22
Используя девять цифр от 0 до 8, объединяя их в группы и переставляя, можно образовать различные числовые множества. В частности, множество {2,61,487,503} состоит исключительно из простых чисел.
Задачу решили:
21
всего попыток:
48
Число 512 имеет интересное свойство: оно равно сумме своих цифр в некоторой степени: (5+1+2)3=512. Другое число с аналогичным свойством – 614656=284. Найдите сумму натуральных чисел, равных сумме своих цифр в некоторой целой степени и не превышающих 1014.
Задачу решили:
10
всего попыток:
36
Первое, что приходит в голову, когда нужно возвести число в 15-ю степень, это просто выполнить четырнадцать умножений: n n ... n = n15 Если использовать "бинарный" метод, того же результата можно достичь, выполнив всего шесть умножений: n n = n2 Но оказывается, что количество умножений можно сократить до пяти: n n = n2 Определим m(k) как минимальное количество умножений, необходимое для вычисления nk; например, m(15) = 5. Найдите наименьшее значение k, для которого m(k)=12.
Задачу решили:
18
всего попыток:
19
Обозначим через pn n-ое простое число, а через rn- остаток от деления (pn-1)n + (pn+1)n на pn2.
Задачу решили:
28
всего попыток:
54
Палиндромами называют числа, десятичные знаки которых расположены симметрично. Палиндром 595 интересен тем, что его можно представить в виде суммы семи последовательных квадратов натуральных чисел: 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122. Существует ровно 5 палиндромов, не превышающих 1000, которые можно представить в виде суммы 5 и более последовательных квадратов. Их сумма равна 2609. Найдите сумму всех палиндромов, не превышающих 108, которые можно представить в виде суммы 5 и более последовательных квадратов.
(Будьте внимательны! Проверка задачи будет осуществляться только после завершения турнира.)
Задачу решили:
12
всего попыток:
12
Для некоторых простых чисел p можно найти такое натуральное n, для которого выражение n3+ n2p является точным кубом.
Задачу решили:
7
всего попыток:
14
Числа, состоящие только из единиц называют репьюнитами. Обозначим через R(k) репьюнит длиной k, например, R(6) = 111111. Рассмотрим теперь репьюниты вида R(10n). Хотя R(10), R(100) и R(1000) не делятся на 17, R(10000) делится на 17 без остатка. Но оказывается, что нет таких n, для которых R(10n) делилось бы на 19. Из всех простых чисел, меньших ста только четыре, а именно 11, 17, 41 и 73, могут быть делителями R(10n) для некоторого n. Найдите сумму всех простых чисел, меньших 200000, которые являются делителями R(10n) для какого-либо n.
Задачу решили:
11
всего попыток:
23
Для натуральных чисел x, y, z их суммы и разности x + y, x - y, x + z, x - z, y + z и y - z являются квадратами натуральных чисел. Найдите минимальное значение x + y.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|