В полоске, состоящей из пяти черных квадратов, будем заменять несколько идущих подряд клеток на прямоугольники разных цветов. При этом прямоугольники 2 × 1 будут красного цвета, 3 × 1 - зеленого, 4 × 1 - синего, а прямоугольник длиной 5 клеток окрасим в желтый цвет.

Используя красные прямоугольники, это можно сделать ровно семью способами:

Для зеленых прямоугольников есть три варианта:

Синие прямоугольники можно поставить только двумя способами:

А для желтых прямоугольников возможен один единственный вариант:

Итак, используя цветные прямоугольники какого-либо одного из имеющихся цветов, можно заменить часть черных квадратов в полоске длиной 5 единиц 7 + 3 + 2 + 1 = 13 способами.

Сколькими способами можно заменить цветными прямоугольниками часть черных квадратов в полоске длиной 50 единиц, если можно использовать цветные полоски только одного из имеющихся четырех цветов, и использован хотя бы один цветной прямоугольник? ("Смешивать" цвета нельзя, т.е. как и в примере, каждая полоска может содержать лишь один цвет, не считая черного).

Используя девять цифр от 0 до 8, объединяя их в группы и переставляя, можно образовать различные числовые множества. В частности, множество {2,61,487,503} состоит исключительно из простых чисел.

Сколько различных множеств можно сформировать, используя ровно один раз каждую цифру от 0 до 8, так, чтобы все элементы множества были простыми?
Замечание: натуральные числа не могут начинаться с нуля.

Число 512 имеет интересное свойство: оно равно сумме своих цифр в некоторой степени: (5+1+2)³=512. Другое число с аналогичным свойством – 614656=28⁴.

Найдите сумму натуральных чисел, равных сумме своих цифр в некоторой целой степени и не превышающих 10¹⁴.

Первое, что приходит в голову, когда нужно возвести число в 15-ю степень, это просто выполнить четырнадцать умножений:

n n ... n = n¹⁵

Если использовать "бинарный" метод, того же результата можно достичь, выполнив всего шесть умножений:

n n = n²
n² n² = n⁴
n⁴ n⁴ = n⁸
n⁸ n⁴ = n¹²
n¹² n² = n¹⁴
n¹⁴ n = n¹⁵

Но оказывается, что количество умножений можно сократить до пяти:

n n = n²
n² n = n³
n³ n³ = n⁶
n⁶ n⁶ = n¹²
n¹² n³ = n¹⁵

Определим m(k) как минимальное количество умножений, необходимое для вычисления n^k; например, m(15) = 5.

Найдите наименьшее значение k, для которого m(k)=12.

Обозначим через p_n n-ое простое число, а через r_n- остаток от деления (p_n-1)ⁿ + (p_n+1)ⁿ на p_n².
Например, при n = 3, p₃ = 5, и 4³ + 6³ = 280 5 mod 25.
Наименьшее значение n, при котором остаток r_n превышает 10⁹ равно 7037.
Найдите наименьшее значение n, для которого r_n >10¹¹.

Палиндромами называют числа, десятичные знаки которых расположены симметрично. Палиндром 595 интересен тем, что его можно представить в виде суммы семи последовательных квадратов натуральных чисел: 6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² + 12².

Существует ровно 5 палиндромов, не превышающих 1000, которые можно представить в виде суммы 5 и более последовательных квадратов. Их сумма равна 2609.

Найдите сумму всех палиндромов, не превышающих 10⁸, которые можно представить в виде суммы 5 и более последовательных квадратов.

Для некоторых простых чисел p можно найти такое натуральное n, для которого выражение n³+ n²p является точным кубом.
Например, если p=19, то 8³+ 8²×19=12³.
Оказывается, для каждого простого p можно найти не более одного подходящего значения n, и есть только четыре подходящих простых числа, не превышающих сотни.
Найдите сумму всех простых чисел, обладающих указанным свойством и не превышающих одного миллиона.

Числа, состоящие только из единиц называют репьюнитами. Обозначим через R(k) репьюнит длиной k, например, R(6) = 111111.

Рассмотрим теперь репьюниты вида R(10ⁿ). Хотя R(10), R(100) и R(1000) не делятся на 17, R(10000) делится на 17 без остатка. Но оказывается, что нет таких n, для которых R(10ⁿ) делилось бы на 19. Из всех простых чисел, меньших ста только четыре, а именно 11, 17, 41 и 73, могут быть делителями R(10ⁿ) для некоторого n.

Найдите сумму всех простых чисел, меньших 200000, которые являются делителями R(10ⁿ) для какого-либо n.

Для натуральных чисел x, y, z их суммы и разности x + y, x - y, x + z, x - z, y + z и y - z являются квадратами натуральных чисел. Найдите минимальное значение x + y.