Заполним полоску из пяти клеток, используя черные квадраты и цветные прямоугольники: красные прямоугольники из двух клеток, зеленые прямоугольники из трех клеток, синие – из четырех и желтые из пяти клеток. Как видно из рисунка, это можно сделать шестнадцатью способами.

Сколько есть способов заполнения полоски из 50 клеток?

Обозначим через reverse(n) число, состоящее из тех же цифр, что и натуральное число n, но записанных в обратном порядке.

Для некоторых n в десятичной записи суммы n + reverse(n) используются только нечетные цифры. Такие n назовем обратимыми. Например, числа 36, 63, 409 и 904 обратимы, поскольку 36 + 63 = 99 и 409 + 904 = 1313.

Помня, что десятичная запись чисел не может начинаться с нуля, можно подсчитать, что ровно 120 обратимых чисел не превышают тысячи.

А сколько обратимых чисел не превышает 10²¹?

Типография каждый день выполняет 16 заказов. Для каждого заказа необходим лист специальной бумаги формата A5.
Каждое утро бригадир открывает новый конверт, содержащий большой лист формата A1.

Он разрезает лист пополам. В результате получается два меньших листа формата A2, один из которых он снова режет пополам, и т.д., пока не получится лист формата A5.
Все неиспользованные листы он складывает обратно в конверт.
Приступая к выполнению следующего заказа, он берет из конверта наугад первый попавшийся лист. Если этот лист имеет формат A5, он сразу же идет в дело. Если же лист окажется больше, к нему применяется та же процедура "половинного деления", что и к исходному листу, пока не получится формат A5, а оставшиеся неиспользованными листы разного формата каждый раз убирают обратно в конверт.
Найдите среднее число раз в году, когда бригадир, открыв конверт, находит там ровно два листа. Считайте, что в году 249 рабочих дней, а результат округлите до целого.

На рисунке изображена треугольная пирамида, составленная из шариков. Каждый шарик стоит на трех других шариках, расположенных в нижележащем слое.

Давайте теперь подсчитаем количество путей, ведущих из вершины к каждому из шаров.

Наш путь начинается с самого верхнего шара. На каждом шаге мы переходим к одному из трех шаров, на которых стоит текущий шар.

Таким образом, количество путей, ведущих к данному шарику, равно сумме количеств путей, ведущих к шарикам, расположенным непосредственно над ним (в зависимости от положения их может быть до трех).

То, что мы получили, называют пирамидой Паскаля, а числа на каждом уровне являются коэффициентами в триномиальном разложении выражения (x + y + z)ⁿ.

Найдите, сколько коэффициентов в разложении (x + y + z)¹²³⁴⁵⁶, кратных 4·10¹³.

Фигуру, составленную из трех квадратов, имеющих общую сторону, называют тримино. Тримино бывают двух видов: угловое и прямое:

С учетом различных ориентаций можно насчитать шесть видов тримино:

Легко доказать, что при помощи тримино можно покрыть любой прямоугольник m x n, если m x n кратно трем. Например, полоску 2 х 9 можно покрыть 41 способом:

При этом симметричные покрытия мы считали различными.

Сколько существует подобного рода покрытий для прямоугольника 8 х 15?

В шестнадцатеричной системе счисления числа представляют с помощью 16 цифр:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Шестнадцатеричная запись AF соответствует десятичному числу 10x16+15=175.
В трехзначных шестнадцатеричных числах AA0 и A0A цифра 0 использована 1 раз, а цифра A - 2 раза. Как и в десятичных числах, ноль слева не пишется.
Сколько найдется шестнадцатеричных чисел, в записи которых не более 16 цифр, цифра 0 использована хотя бы один раз, а цифра A использована более 1 раза?

Ответ представьте в шестнадцатеричной системе счисления.