Всем известно, что уравнение x²=-1 не имеет решений для вещественных x.
Однако, перейдя в область комплексных чисел, мы найдем два корня: x=i и x=-i.
Уравнение (x-3)²=-4 имеет два решения: x=3+2i и x=3-2i. Их называют комплексно-сопряженными.
Гауссовыми целыми называют комплексные числа a+bi, у которых a и b целые. Обычные целые числа тоже, конечно, являются гауссовыми целыми с b=0. Чтобы отличить их от гауссовых целых с b≠0, мы будем называть их "рациональными целыми". Гауссово целое будем называть делителем рационального целого n, если частное также является гауссовым целым.
Например, если мы делим 5 на 1+2i, получим

Поскольку 1-2i – гауссово целое, число 1+2i является делителем 5.

С другой стороны, 1+i не является делителем 5, поскольку .

Заметим, что если гауссово целое (a+bi) является делителем рационального целого n, то и комплексно-сопряженное (a-bi) также будет делителем n.
Таким образом, число 5 имеет ровно 6 делителей с положительной вещественной частью: {1, 1 + 2i, 1-2i, 2 + i, 2-i, 5}.
В таблице приведены все делители с положительной вещественной частью первых пяти положительных рациональных целых.

На рисунке изображена треугольная пирамида, составленная из шариков. Каждый шарик стоит на трех других шариках, расположенных в нижележащем слое.

Давайте теперь подсчитаем количество путей, ведущих из вершины к каждому из шаров.

Наш путь начинается с самого верхнего шара. На каждом шаге мы переходим к одному из трех шаров, на которых стоит текущий шар.

Таким образом, количество путей, ведущих к данному шарику, равно сумме количеств путей, ведущих к шарикам, расположенным непосредственно над ним (в зависимости от положения их может быть до трех).

То, что мы получили, называют пирамидой Паскаля, а числа на каждом уровне являются коэффициентами в триномиальном разложении выражения (x + y + z)ⁿ.

Найдите, сколько коэффициентов в разложении (x + y + z)¹²³⁴⁵⁶, кратных 4·10¹³.

Электрическая цепь состоит из одинаковых конденсаторов емкостью C. Конденсаторы можно соединять последовательно или параллельно в блоки, которые также можно соединять последовательно или параллельно в "суперблоки" большего размера, и так далее.

Используя эту процедуру и не более n одинаковых конденсаторов, мы можем собрать некоторое количество цепей различной суммарной емкости. Например, используя не более 3 конденсаторов с электрической емкостью 60μF каждый, мы можем получить 7 различных значений общей емкости цепи:

(Известно, что, соединяя конденсаторы C₁, C₂ … параллельно, мы получим общую емкость C_T=C₁+C₂+..., а соединяя последовательно – общую емкость )
Если мы обозначим через D(n) количество различных значений емкости электрических цепей, которые можно собрать, используя не более n одинаковых конденсаторов, то получим D(1)=1, D(2)=3, D(3)=7,...
Найдите D(19).

Выберем три различные буквы из русского алфавита (содержащего, как известно, 33 буквы). Из них сформируем строку длиной 3 знака, например, 'абв', 'пар' или 'юэь'.
В строке 'абв' ровно две буквы стоят сразу после букв, предшествующих им в алфавите.
В слове 'пар' только у одной буквы 'р' ближайший сосед слева предшествует ей в русском алфавите. В слове 'юэь' нет букв, которые стоят в алфавите после их соседа слева.
Всего из 33 букв русского алфавита можно составить 21824 трехбуквенных "слов" так, чтобы ровно у одного знака соседняя слева буква предшествовала бы ему в алфавите, и буквы в слове не повторялись.
А теперь рассмотрим строки длиной n, и обозначим через p(n) число таких "слов" длиной n, что ровно у одного знака в слове соседняя слева буква предшествует ему в алфавите, и буквы в слове не повторяются.
Найдите максимальное значение p(n).

Фигуру, составленную из трех квадратов, имеющих общую сторону, называют тримино. Тримино бывают двух видов: угловое и прямое:

С учетом различных ориентаций можно насчитать шесть видов тримино:

Легко доказать, что при помощи тримино можно покрыть любой прямоугольник m x n, если m x n кратно трем. Например, полоску 2 х 9 можно покрыть 41 способом:

При этом симметричные покрытия мы считали различными.

Сколько существует подобного рода покрытий для прямоугольника 8 х 15?

В шестнадцатеричной системе счисления числа представляют с помощью 16 цифр:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Шестнадцатеричная запись AF соответствует десятичному числу 10x16+15=175.
В трехзначных шестнадцатеричных числах AA0 и A0A цифра 0 использована 1 раз, а цифра A - 2 раза. Как и в десятичных числах, ноль слева не пишется.
Сколько найдется шестнадцатеричных чисел, в записи которых не более 16 цифр, цифра 0 использована хотя бы один раз, а цифра A использована более 1 раза?

Ответ представьте в шестнадцатеричной системе счисления.

Рассмотрим равносторонний треугольник с проведенными в нем медианами, такой как треугольник размера 1 на рисунке:

 
В треугольнике размера 1 можно найти 16 треугольников различной величины, формы, положения и ориентации.
Используя треугольники размера 1 в качестве элементов, можно составить из них треугольники большего размера, такие как треугольник размера 2 на рисунке. В треугольнике размера 2 можно насчитать 104 треугольника различной величины, формы, положения и ориентации.
Легко видеть, что треугольник размера 2 состоит из четырех треугольников размера 1, треугольник размера 3 – из 9 треугольников размера 1, а треугольник размера n - из n² треугольников размера 1.
Обозначим через T(n) количество треугольников различной величины, формы, положения и ориентации, которые можно найти в треугольнике размера n.
Получим:
T(1) = 16,
T(2) = 104

Найдите Т(50).

Сколько существует таких 20-значных чисел, что в их десятичной записи сумма любых трех последовательных цифр не меньше шести, но не превышает одиннадцати?
(Числа не могут начинаться с нуля)

Рассмотрим сколькими способами можно представить натуральное число n  в виде суммы степеней 2, используя при этом каждую из степеней не более чем четырежды. Полученное число обозначим через f(n).

Например, f(11)=7, поскольку число 11 можно записать указанным образом ровно семью способами:

11=8+2+1
11=8+1+1+1
11=4+4+2+1
11=4+4+1+1+1
11=4+2+2+2+1
11=4+2+2+1+1+1
11=2+2+2+2+1+1+1

Найдите f(10¹⁰).

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами 84, 2103,  9657. Заметьте, что, записав три измерения этого параллелепипеда в десятичной системе счисления, мы использовали каждую цифру ровно один раз. Будем  называть такой параллелепипед интересным.
Также заметим, что данный параллелепипед обладает еще одним свойством: его объем равен 1705928364, и запись этого числа тоже содержит каждую цифру ровно один раз. Интересный параллелепипед, обладающий этим свойством, будем называть очень интересным.
Найдите наибольший объем очень интересного параллелепипеда.