Для натурального числа n обозначим через g(n) число, полученное перестановкой двух последних цифр в начало, например g(153846)= 461538. Оказывается, что для числа 153846 g(n) кратно n. Действительно, 461538=153846×3. Кроме того, g(n)≠n.

Найдите 5 последних цифр суммы всех натуральных n, не превышающих 10¹⁰⁰, для которых g(n) кратно n и g(n)≠n.

Рассмотрим сколькими способами можно представить натуральное число n  в виде суммы степеней 2, используя при этом каждую из степеней не более чем четырежды. Полученное число обозначим через f(n).

Например, f(11)=7, поскольку число 11 можно записать указанным образом ровно семью способами:

11=8+2+1
11=8+1+1+1
11=4+4+2+1
11=4+4+1+1+1
11=4+2+2+2+1
11=4+2+2+1+1+1
11=2+2+2+2+1+1+1

Найдите f(10¹⁰).

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами 84, 2103,  9657. Заметьте, что, записав три измерения этого параллелепипеда в десятичной системе счисления, мы использовали каждую цифру ровно один раз. Будем  называть такой параллелепипед интересным.
Также заметим, что данный параллелепипед обладает еще одним свойством: его объем равен 1705928364, и запись этого числа тоже содержит каждую цифру ровно один раз. Интересный параллелепипед, обладающий этим свойством, будем называть очень интересным.
Найдите наибольший объем очень интересного параллелепипеда.

Обозначим через f(n) сумму кубов десятичных цифр натурального числа n, например:
f(5)=5³=125
f(27)= 2³+7³=351
f(31321)= 3³+1³+3³+2³+1³=64
Найдите последние девять цифр суммы всех n, не превышающих 10²⁰, для которых f(n) является кубом натурального числа.

Сколько существует 18-значных чисел, в десятичной записи которых
нет нулей,
не более одной единицы,
не более двух двоек,
не более трех троек,
не более четырех четверок,
не более пяти пятерок,
не более шести шестерок,
не более семи семерок,
не более восьми восьмерок,
и не более девяти девяток?

Ленточным прямоугольником толщины d назовем множество таких точек некоторого прямоугольника, расстояние которых до границы указанного прямоугольника не превышает d.

Будем рассматривать только ленточные прямоугольники, стороны и толщина которых выражаются натуральными числами, а удвоенная толщина меньше каждой из сторон.
На рисунке в качестве примера показаны два ленточных прямоугольника. Площадь каждого из них равна 28.

Сколько существует различных ленточных прямоугольников, площадь которых не превышает 1000000?
(Конгруэнтные ленточные прямоугольники следует считать одинаковыми)