Найдите максимально возможную площадь десятиугольника, стороны которого равны 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Ответ умножьте на 100000 и округлите до ближайшего целого числа.

Очень простое число это такое простое число, любые несколько первых цифр которого также являются простыми числами. Например, простое число 2333 является очень простым, т.к. числа 2, 23 и 233 также являются простыми. Найдите максимальное очень простое число.

В каждой ячейке квадрата размера 5 на 5 записана цифра. Квадрат будем считать простым, если каждая строка (слева направо), каждый столбец (сверху вниз) и обе диагонали (слева направо) являются простыми пятизначными числами. Сколько существует различных симметричных простых квадратов (т.е. таких, в которых первая строка равна первому столбцу, вторая строка - второму столбцу, и так далее, все 5)?

9 сентября 2010-го года (по григорианскому календарю) еврейский новый 5771-й год (праздник Рош ха-Шана) совпадает с мусульманским праздником Ид аль-Фитр, отмечаемого после окончания священного месяца рамадан. Оба календаря, еврейский и мусульманский - лунные, а оба праздника приходят на начало лунного месяца (первого еврейского и десятого мусульманского). Однако, мусульманский календарь является чисто лунным, и год всегда содержит 12 месяцев, а еврейский календарь, как и другие древние восточные календари, является лунно-солнечным. К некоторым годам добавляется 13-й месяц, чтобы таким образом быть привязанным и к временам года (так было и в до-исламском арабском календаре). А формула добавления 13-го месяца такая: в каждом цикле из 19-и лет добавляется 13-й месяц к годам с номерами 3,6,8,11,14,17,19 (в китайском календаре 9 вместо 8). Т.к. остаток от деления 5771 на 19 равен 14, то в этом году по еврейскому календарю будет 13 месяцев, а следующий новый год (Рош ха-Шана) будет на целый месяц позже Ид аль-Фитр. Сколько раз в этом тысячелетии (по григорианскому календарю), с 2001-го по 3000-й год, оба праздника совпадут?

Суперферзь отличается от обычного тем, что он может ходить и как конь. Сколькими способами можно расствить 14 суперферзей на шахматной доске размера 14 на 14 таким образом, чтобы ни один суперферзь не находился под ударом другого суперферзя? Позиции, получающиеся друг от друга поворотом или зеркальным отображением, считаются разными.

Есть N² ферзей N разных определённых цветов, по N ферзей каждого цвета. Обозначим как X(N) количество способов расставить все эти ферзи на шахматной доске размера N на N так, чтобы ферзи одного цвета не находились под ударом друг друга. Чему равна сумма X(3) + X(4) + X(5) + X(6) + X(7) + X(8) + X(9) + X(10)? (Координаты клеток доски, а также цвета ферзей, однозначно определены, поэтому разные позиции, подучающиеся одна от другой поворотом, симметрическим отображением или сменой цветов, считаются разными).

Хозяйка испекла для гостей пирог. К ней может прийти либо 7, либо 8, либо 9 человек. Число N - наименьшее число кусков, на которое ей нужно заранее разрезать пирог так, чтобы его можно было поделить поровну и между семью, и между восемью, и между девятью гостями.

Сколько существует различных разбиений пирога на таких N кусков?

Замечания.

1. Нужно считать только разбиения на куски, кратные 1/(7*8*9) части пирога.

2. Если из какого-то разбиения можно скомпоновать нужные части несколькими способами, то это разбиение всё равно считается только один раз.

Найдите минимально возможную целочисленную длину стороны равностороннего треугольника, внутри которого существует точка, расстояния от которой до всех вершин треугольника также являются целыми числами.

В правильном целочисленном треугольнике АВС есть такая точка внутри, что целочисленные расстояния a, b, c до его вершин образуют арифметическую прогрессию и НОД(a,b,c) =1. Найти сторону двадцать первого по величине такого треугольника.

Сколькими различными способами можно разрезать шестиугольник из 54-х одинаковых равносторонних треугольников по линиям сетки на три конгруэнтных n–угольника?

Разрезания, являющиеся симметрическими отображениями друг друга, считать только один раз. Т.е., нужно найти количество «неконгруэнтных разрезаний».