Парой простых называются два простых числа, разность между которыми 2. Наибольшая известная сейчас пара простых это:

2003663613*2¹⁹⁵⁰⁰⁰ - 1 и 2003663613*2¹⁹⁵⁰⁰⁰ + 1. Каждое состоящее из 58711 цифр.

Найдите последние 10 цифр их произведения и укажите их в ответе.

Дан список слов в приложении. Среди них есть некоторые слова-анаграммы. То есть пары слов, отличающиеся только порядком букв. Такие как СОСНА и НАСОС. Оказывается, что при некоторой подстановке букв цифрами (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные), слова пары могут одновременно превратиться в пентагональные числа (представимы как n(3n-1)/2). Найти среди всех таких слов и соответствующих им чисел, наибольшее число.

Найдите максимальное из данных чисел и в ответ запишите произведение последних десяти цифр.

7241109^6793992, 8420107^6729722, 1159716^7685152, 5075272^6950376, 8427375^6729358, 1964837^7405537, 7055898^6805155, 8244615^6738623, 2080616^7376392, 2092123^7373597, 1625603^7503680, 5782933^6892109, 9817032^6665560, 1630694^7502039, 2188528^7350843, 9080891^6697988, 3450440^7128534, 8255210^6738079, 6464169^6843165, 1662223^7492010, 9598120^6674910, 8438327^6728810, 5325623^6928768, 6907456^6814344, 8884198^6707155, 3678567^7098347, 3597399^7108838, 4363524^7019067, 6566438^6836322, 1635631^7500454, 3352358^7142216, 9165081^6694133, 3307564^7148616, 1999154^7396699, 6827610^6819378, 5900694^6883197, 9494128^6679436, 2998722^7195603, 3422414^7132398, 2823024^7224853, 7417114^6783678, 2695837^7247346, 2764239^7235103, 2361771^7312682, 4790567^6976462, 6778362^6822517, 1990470^7398919, 8174740^6742226, 4871284^6968892, 3503508^7121314, 2868913^7217018

Для выражения (2a+1)ⁿ + (2a-1)ⁿ, для каждого конкретного a, остатки при делении этого выражения на a² могут отличаться для разных n. Найдите сумму всех максимальных (при изменении n) остатков при делении выражения на a², для a от 5 до 2009 включительно.

Игра проводится по следующим правилам.

Вначале в коробку кладут два шара - синий и красный. За ход предлагается вынуть наугад один из шаров. Затем вынутый шар возвращается в коробку и вдобавок в коробку кладется два шара красного цвета. Таких ходов делается n. Игра считается выигранной, если количество вынутых синих больше чем вынутых красных. Для n=3 вероятность выиграть равна 5/24. Если игра стоит 1 рубль, то максимальный целый выигрыш, который крупье может предложить, чтобы в среднем выигрывать, 4 рубля.

Найдите какой максимальный выигрыш можно предложить для аналогичной игры с 13 ходами.

Рассмотрим "единичные" числа, числа состоящие из нескольких цифр "1". Обозначим R(k) число состоящее из k единиц; например, R(6) = 111111.

Пусть n - натуральное и НОД(n, 10) = 1. Тогда можно показать, что всегда найдется k, такое что R(k) делится на n, обозначим A(n) минимальное из подходящих k. Например, A(7) = 6, А(41) = 5.

Нас интересует отношение n/A(n). Для n<90, n для которого отношение n/A(n) минимально равно 61. 

Найдите n для которого n/A(n) минимально среди n<1234567.