Число "гугол" (googol) 10¹⁰⁰ - довольно большое, но сумма его цифр равна 1. Найдите максимальную сумму цифр чисел mⁿ, 0<m<2⁸, 0<n<2⁸.

Известно, что √3 = 1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + ...

То есть может быть представлен как цепная дробь с периодом (1, 2).

Посчитаем частичные суммы такой цепной дроби:

1 + 1/(1 + 1/2) = 5/3

1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/2))) = 19/11

1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/2))))) = 71/41

Следующие частичные суммы дают такие дроби: 265/153, 989/571, 3691/2131, 13775/7953,...

Для последней из записанных дробей - числитель имеет больше цифр чем знаменатель. Среди первых 2009 таких частичных сумм найдите дроби у которых цифр в числителе больше чем в знаменателе. В ответе укажите количество таких дробей.

Рассмотрим спираль из натуральных чисел:

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18  5  4  3 12 29
40 19  6  1  2 11 28
41 20  7  8  9 10 27
42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49

Спираль формируется так: в центре 1, а затем числа последовательно  дописываются по спирали против часовой стрелки. Нас интересуют только числа находящиеся на одной горизонтали или вертикали с единицей. Для спирали с длиной стороны 7 доля простых среди них 4/13. Рассмотрите спирали с нечетными длинами сторон. Найдите спираль минимального размера, но большую чем дана в примере, для которой доля простых среди чисел меньше 1/10. В ответе запишите длину стороны такой спирали.

Некоторые пары простых чисел обладают таким свойством: если записать их подряд в произвольном порядке, то получится тоже простое число. Например, этим свойством обладают числа 3 и 7, поскольку 37 и 73 тоже простые.

Найдите среди простых чисел меньших 10000 все возрастающие четверки простых чисел такие, что любая пара из четверки обладает описанным свойством. Например, такой четвёркой является 3, 7, 109, 673. В разных четверках числа могут повторяться.

Вычислите сумму всех чисел во всех четверках.

Назовём число a представимым n-ной степенью, если существует натуральные числа x и n, такие что a = xⁿ.

Найдите количество n-значных чисел, которые являются представимыми степенью n или n/2.

Например, четырехзначное число 1024 представимо как вторая степень (32²), а число шестизначное число 531441 представимо как шестая степень (9⁶).

Известно, что tg(1) представляется следующей непериодической цепной дробью:

tg(1) = [ 1, 1, 1, 3, 1, 5, ... , 1, 2*k - 1, ... ]

Если рассмотреть цепную дробь только с несколькими первыми, значениями получим приближение tg(1).

Для первого значения приближение tg(1) ~ 1.

Для первых двух: tg(1) ~ 1 + 1/1 = 2.

Трёх: 1 + 1 / ( 1 + 1 / 1 ) = 3/2.

Четырех: 1 + 1 / ( 1 + 1 / ( 1 + 1 / 3 )) = 11/7.

Найдите 2009-ое и 2010-ое приближения цепными дробями tg(1). Вычислите разность этих приближений и запишите в ответ сумму цифр знаменателя этой разности.

Вам необходимо найти спуск по треугольнику с наибольшей суммой - от вершины до основания. Сумма считается по всем числам, через которые проходит путь. Разрешается спускаться прямо вниз, вниз-влево и вниз-вправо (смотрите пример). В ответе укажите максимальную сумму.

Пример:

3

6 2 5

3 1 9 2 3

4 3 1 1 6 2 4

3 7 8 7 8 7 9 6 7

1 1 4 9 0 5 4 8 8 8 5

3 1 5 1 9 3 2 3 2 8 4 6 1

7 0 9 0 7 0 5 1 7 0 8 6 6 3 4

5 2 7 9 4 9 5 1 7 9 1 2 5 8 6 6 3

7 1 0 4 1 2 1 4 0 2 5 2 5 4 6 0 9 4 3

2 2 0 0 8 8 1 1 4 5 2 9 1 3 0 1 9 7 3 7 5

1 5 3 5 9 7 4 4 3 6 6 6 2 5 9 8 6 7 7 8 2 0 6

2 7 9 2 1 5 6 4 0 7 8 1 0 2 0 0 0 1 1 4 8 0 1 5 9

2 3 1 3 7 6 5 2 2 2 0 5 8 6 3 2 7 6 2 3 7 4 7 1 3 1 9

5 0 7 6 1 0 1 4 8 7 4 3 6 0 0 4 9 6 0 7 2 9 5 7 4 0 4 1 7

0 9 8 8 3 8 0 2 4 4 0 5 0 0 7 2 3 3 6 5 1 2 2 6 6 2 6 9 9 8 8

6 8 1 2 0 4 4 7 3 3 6 9 7 8 7 0 4 5 4 2 9 8 2 3 2 7 2 7 4 8 0 7 9

4 8 2 8 2 2 6 6 3 0 2 3 8 5 8 5 8 7 6 6 4 7 0 8 8 8 2 6 9 0 8 5 8 3 3

7 2 9 9 8 4 3 3 7 2 0 9 2 1 9 9 5 8 6 8 2 9 4 5 0 7 1 5 4 6 8 4 0 1 4 5 4

0 0 3 7 9 4 8 6 3 9 5 0 9 1 0 3 5 4 9 1 4 4 9 7 3 2 0 6 5 7 5 0 8 5 0 7 9 4 9

3 1 0 8 3 8 6 8 4 5 9 9 8 8 5 6 6 9 7 1 8 0 5 3 1 9 6 0 4 9 8 9 5 4 1 0 2 4 1 2 7

7 9 5 0 5 5 6 2 2 9 1 8 5 2 1 3 6 3 3 0 7 1 9 5 1 9 8 0 5 7 0 1 7 2 2 0 1 9 7 1 1 6 3

3 0 1 0 4 9 4 9 6 7 4 6 5 4 4 7 3 6 8 3 7 7 6 8 3 7 6 7 4 6 8 0 4 4 3 4 0 4 5 4 9 0 1 5 7

0 0 2 9 2 7 6 8 2 9 4 7 3 0 1 1 0 9 1 3 1 4 7 2 6 7 7 8 8 6 7 5 2 5 4 7 0 7 5 1 9 3 5 0 0 4 6

9 2 1 8 6 1 8 7 6 9 3 8 8 0 3 3 2 3 8 5 5 9 8 9 6 0 2 7 5 5 8 2 4 6 8 7 5 7 7 6 1 9 1 1 4 2 3 0 7

7 5 7 8 0 3 6 4 1 5 7 8 6 6 8 5 0 6 5 4 5 2 6 5 8 7 9 9 0 8 1 1 9 2 7 4 5 7 1 1 7 7 6 8 5 1 5 8 8 9 2

7 0 4 6 6 0 9 6 2 6 3 4 1 1 4 8 3 7 7 3 7 3 9 6 0 5 1 0 9 0 6 0 5 0 8 9 8 1 5 1 8 5 4 1 3 8 4 4 5 7 5 0 3

9 9 7 9 6 7 2 3 8 6 9 3 7 6 8 5 2 8 9 4 7 6 8 3 6 9 5 4 5 4 3 0 9 1 4 1 6 7 7 1 3 8 1 1 7 7 4 2 4 1 1 7 1 6 0

3 1 2 1 4 7 2 7 3 7 1 6 6 8 2 4 1 2 9 7 9 8 6 1 2 0 5 0 4 5 7 1 5 4 2 1 7 6 6 8 1 8 6 3 7 6 1 3 5 0 9 9 7 0 3 3 4

4 2 4 2 5 8 2 2 1 0 0 4 5 9 7 9 6 7 3 5 4 0 5 1 1 7 4 7 5 6 3 8 0 5 4 8 3 9 8 6 9 3 4 9 7 3 7 5 1 1 0 7 6 4 4 6 0 5 8

Сумма для пути в примере: 176.

Функция Эйлера φ(n) определяется так: для любого натурального n>1 её значение равно количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n, по определению φ(1)=1, в частности φ(9)=6 (числа 1, 2, 4, 5, 7, 8 - взаимно просты с числом 9). 

Необходимо найти число n≤=1000000, для которого отношение n²/φ(n) максимально.

Для каждого p можно посчитать количество пифагоровых треугольников с таким периметром. Например для 12 и 24 таких треугольников ровно по одному: (3,4,5) и (6,8,10) соответственно. А для периметра 120 таких треугольников уже 3: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51).

Найдите количество периметров p ≤ 10000000, для которых число различных пифагоровых треугольников с данным периметром является простым.

Каждому числу сопоставим сумму факториалов его цифр.

Например: 15 → 1! + 5! = 121

Среди всех чисел есть числа которым сопоставлены они сами. Например 145 → 1! + 4! + 5! = 145

Если для каждого числа строить цепочку чисел, каждый раз применяя данную операцию, легко показать, что числа начиная с какого-то будут повторяться.

Оказывается что циклов длиной более одного всего 3:

169 → 363601 → 1454 → 169

871 → 45361 → 871

872 → 45362 → 872

Также известно, что для чисел меньше 1000000 цепочки, прежде чем числа начнут повторяться, будут содержать не более 60 членов.

Найдите все цепочки максимальной длины начинающиеся с чисел меньших 1000000. В ответе укажите сумму всех первых значений таких цепочек.