![]()
Лента событий:
NZ решила задачу "Два параллелограмма" (Математика):
![]()
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
30
всего попыток:
45
Известно, что √3 = 1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + ... То есть может быть представлен как цепная дробь с периодом (1, 2). Посчитаем частичные суммы такой цепной дроби: 1 + 1/(1 + 1/2) = 5/3 1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/2))) = 19/11 1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/2))))) = 71/41 Следующие частичные суммы дают такие дроби: 265/153, 989/571, 3691/2131, 13775/7953,... Для последней из записанных дробей - числитель имеет больше цифр чем знаменатель. Среди первых 2009 таких частичных сумм найдите дроби у которых цифр в числителе больше чем в знаменателе. В ответе укажите количество таких дробей. ![]()
Задачу решили:
42
всего попыток:
72
Рассмотрим спираль из натуральных чисел: 37 36 35 34 33 32 31 Спираль формируется так: в центре 1, а затем числа последовательно дописываются по спирали против часовой стрелки. Нас интересуют только числа находящиеся на одной горизонтали или вертикали с единицей. Для спирали с длиной стороны 7 доля простых среди них 4/13. Рассмотрите спирали с нечетными длинами сторон. Найдите спираль минимального размера, но большую чем дана в примере, для которой доля простых среди чисел меньше 1/10. В ответе запишите длину стороны такой спирали. ![]()
Задачу решили:
31
всего попыток:
45
Некоторые пары простых чисел обладают таким свойством: если записать их подряд в произвольном порядке, то получится тоже простое число. Например, этим свойством обладают числа 3 и 7, поскольку 37 и 73 тоже простые. Найдите среди простых чисел меньших 10000 все возрастающие четверки простых чисел такие, что любая пара из четверки обладает описанным свойством. Например, такой четвёркой является 3, 7, 109, 673. В разных четверках числа могут повторяться. Вычислите сумму всех чисел во всех четверках. ![]()
Задачу решили:
23
всего попыток:
89
Назовём число a представимым n-ной степенью, если существует натуральные числа x и n, такие что a = xn. Найдите количество n-значных чисел, которые являются представимыми степенью n или n/2. Например, четырехзначное число 1024 представимо как вторая степень (322), а число шестизначное число 531441 представимо как шестая степень (96). ![]()
Задачу решили:
19
всего попыток:
27
Известно, что любое число вида √n, где n - не является полным квадратом, представимо в виде периодической цепной дроби. Например, Нас будет интересовать количество различных значений в периоде таких цепных дробей. В приведенном примере: √2=[1;(2)], длина периода: 1, различных значений в периоде: 1; Приведем еще примеры: √3=[1;(1,2)], длина периода: 2, различных значений в периоде: 2; Для всех натуральных n, не больших 2009, не являющихся полными квадратами, найдите количество различных значений в периоде цепной дроби √n. В ответе укажите сумму всех количеств. ![]()
Задачу решили:
20
всего попыток:
28
Известно, что tg(1) представляется следующей непериодической цепной дробью: tg(1) = [ 1, 1, 1, 3, 1, 5, ... , 1, 2*k - 1, ... ] Если рассмотреть цепную дробь только с несколькими первыми, значениями получим приближение tg(1). Для первого значения приближение tg(1) ~ 1. Для первых двух: tg(1) ~ 1 + 1/1 = 2. Трёх: 1 + 1 / ( 1 + 1 / 1 ) = 3/2. Четырех: 1 + 1 / ( 1 + 1 / ( 1 + 1 / 3 )) = 11/7. Найдите 2009-ое и 2010-ое приближения цепными дробями tg(1). Вычислите разность этих приближений и запишите в ответ сумму цифр знаменателя этой разности. ![]()
Задачу решили:
26
всего попыток:
57
Рассмотрим такие диофантовы уравнения: x2-Dy2=1. Мы будем искать минимальные (по x) решения этого уравнения в натуральных x и y. Например, для D=13 минимальное решение такое: 6492-13*1802=1. Легко показать, что для D - полного квадрата решений не существует. Рассмотрим минимальные решения D <= 10: 32 - 2*22=1; 22 - 3*12=1; 92 - 5*42=1; 52 - 6*22=1; 82 - 7*32=1; 32 - 8*12=1; 192 - 10*62=1. Нас будут интересовать только те D, минимальные решения которых больше всех ему предшествующих. Здесь это 2, 5, 10. Среди всех D≤1000 не полных квадратов, найдите те у которых минимальное решение (по x) больше (по x) всех минимальных решений для меньших D. В ответе укажите сумму таких D. ![]()
Задачу решили:
81
всего попыток:
144
Вам необходимо найти спуск по треугольнику с наибольшей суммой - от вершины до основания. Сумма считается по всем числам, через которые проходит путь. Разрешается спускаться прямо вниз, вниз-влево и вниз-вправо (смотрите пример). В ответе укажите максимальную сумму. Пример: 3 6 2 5 3 1 9 2 3 4 3 1 1 6 2 4 3 7 8 7 8 7 9 6 7 1 1 4 9 0 5 4 8 8 8 5 3 1 5 1 9 3 2 3 2 8 4 6 1 7 0 9 0 7 0 5 1 7 0 8 6 6 3 4 5 2 7 9 4 9 5 1 7 9 1 2 5 8 6 6 3 7 1 0 4 1 2 1 4 0 2 5 2 5 4 6 0 9 4 3 2 2 0 0 8 8 1 1 4 5 2 9 1 3 0 1 9 7 3 7 5 1 5 3 5 9 7 4 4 3 6 6 6 2 5 9 8 6 7 7 8 2 0 6 2 7 9 2 1 5 6 4 0 7 8 1 0 2 0 0 0 1 1 4 8 0 1 5 9 2 3 1 3 7 6 5 2 2 2 0 5 8 6 3 2 7 6 2 3 7 4 7 1 3 1 9 5 0 7 6 1 0 1 4 8 7 4 3 6 0 0 4 9 6 0 7 2 9 5 7 4 0 4 1 7 0 9 8 8 3 8 0 2 4 4 0 5 0 0 7 2 3 3 6 5 1 2 2 6 6 2 6 9 9 8 8 6 8 1 2 0 4 4 7 3 3 6 9 7 8 7 0 4 5 4 2 9 8 2 3 2 7 2 7 4 8 0 7 9 4 8 2 8 2 2 6 6 3 0 2 3 8 5 8 5 8 7 6 6 4 7 0 8 8 8 2 6 9 0 8 5 8 3 3 7 2 9 9 8 4 3 3 7 2 0 9 2 1 9 9 5 8 6 8 2 9 4 5 0 7 1 5 4 6 8 4 0 1 4 5 4 0 0 3 7 9 4 8 6 3 9 5 0 9 1 0 3 5 4 9 1 4 4 9 7 3 2 0 6 5 7 5 0 8 5 0 7 9 4 9 3 1 0 8 3 8 6 8 4 5 9 9 8 8 5 6 6 9 7 1 8 0 5 3 1 9 6 0 4 9 8 9 5 4 1 0 2 4 1 2 7 7 9 5 0 5 5 6 2 2 9 1 8 5 2 1 3 6 3 3 0 7 1 9 5 1 9 8 0 5 7 0 1 7 2 2 0 1 9 7 1 1 6 3 3 0 1 0 4 9 4 9 6 7 4 6 5 4 4 7 3 6 8 3 7 7 6 8 3 7 6 7 4 6 8 0 4 4 3 4 0 4 5 4 9 0 1 5 7 0 0 2 9 2 7 6 8 2 9 4 7 3 0 1 1 0 9 1 3 1 4 7 2 6 7 7 8 8 6 7 5 2 5 4 7 0 7 5 1 9 3 5 0 0 4 6 9 2 1 8 6 1 8 7 6 9 3 8 8 0 3 3 2 3 8 5 5 9 8 9 6 0 2 7 5 5 8 2 4 6 8 7 5 7 7 6 1 9 1 1 4 2 3 0 7 7 5 7 8 0 3 6 4 1 5 7 8 6 6 8 5 0 6 5 4 5 2 6 5 8 7 9 9 0 8 1 1 9 2 7 4 5 7 1 1 7 7 6 8 5 1 5 8 8 9 2 7 0 4 6 6 0 9 6 2 6 3 4 1 1 4 8 3 7 7 3 7 3 9 6 0 5 1 0 9 0 6 0 5 0 8 9 8 1 5 1 8 5 4 1 3 8 4 4 5 7 5 0 3 9 9 7 9 6 7 2 3 8 6 9 3 7 6 8 5 2 8 9 4 7 6 8 3 6 9 5 4 5 4 3 0 9 1 4 1 6 7 7 1 3 8 1 1 7 7 4 2 4 1 1 7 1 6 0 3 1 2 1 4 7 2 7 3 7 1 6 6 8 2 4 1 2 9 7 9 8 6 1 2 0 5 0 4 5 7 1 5 4 2 1 7 6 6 8 1 8 6 3 7 6 1 3 5 0 9 9 7 0 3 3 4 4 2 4 2 5 8 2 2 1 0 0 4 5 9 7 9 6 7 3 5 4 0 5 1 1 7 4 7 5 6 3 8 0 5 4 8 3 9 8 6 9 3 4 9 7 3 7 5 1 1 0 7 6 4 4 6 0 5 8 Сумма для пути в примере: 176. ![]()
Задачу решили:
64
всего попыток:
97
Функция Эйлера φ(n) определяется так: для любого натурального n>1 её значение равно количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n, по определению φ(1)=1, в частности φ(9)=6 (числа 1, 2, 4, 5, 7, 8 - взаимно просты с числом 9). Необходимо найти число n≤=1000000, для которого отношение n2/φ(n) максимально. ![]()
Задачу решили:
26
всего попыток:
50
Для каждого p можно посчитать количество пифагоровых треугольников с таким периметром. Например для 12 и 24 таких треугольников ровно по одному: (3,4,5) и (6,8,10) соответственно. А для периметра 120 таких треугольников уже 3: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51). Найдите количество периметров p ≤ 10000000, для которых число различных пифагоровых треугольников с данным периметром является простым.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|