![]() ![]()
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
2
всего попыток:
3
Английский математик Джон Хортон Конвей изобрел множество математических развлечений, доставляющих не только удовольствие, но и пищу для серьезных размышлений. Одно из его изобретений – язык программирования FRACTRAN, о котором пойдет речь в данной задаче.
Память данных виртуальной машины языка FRACTRAN содержит одно единственное целое число, а программа представляет собой упорядоченную последовательность рациональных дробей. На каждом шаге выполнения программы машина просматривает эти дроби одну за другой слева направо и умножает каждую из них на число из памяти, пока произведение не окажется целым. Полученное целое число записывают в память вместо предыдущего. Вот, например, FRACTRAN-программа, предложенная Конвеем для получения последовательности простых чисел: 17/91, 78/85, 19/51, 23/38, 29/33, 77/29, 95/23, 77/19, 1/17, 11/13, 13/11, 15/2, 1/7, 55/1. Записав в память исходное значение 2, получим в памяти ряд чисел в следующей последовательности: 15, 825, 725, 1925, 2275, 425, 390, 330, 290, 770, 910, 170, 156, 132, 116, 308, 364, 68, 4, 30, ..., 136, 8, 60, ..., 544, 32, 240, ... Оказывается, степени двойки в полученной последовательности встречаются только с простыми показателями: 22, 23, 25, ..., и можно проверить, что данная последовательность будет содержать в порядке возрастания все степени двух с простыми показателями. Заметим, что для получения 22 из исходного числа 2 потребовалось 19 шагов программы, и при этом три раза происходило умножение на дробь 13/11. А сколько раз придется выполнить умножение на 13/11 при переходе от исходного числа 2 к 2111119?
![]()
Задачу решили:
4
всего попыток:
4
Обозначим через N(i) наименьшее натуральное число n, факториал которого n! делится на (i!)1234567890 . Сумма N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1000, равна 520804933959105. Найдите сумму N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1 000 000. В качестве ответа укажите 18 младших разрядов результата. ![]()
Задачу решили:
4
всего попыток:
15
Рассмотрим последовательность y0, y1, y2,..., где yi - 32-битные случайные целые числа, т.е. 0≤yi<232, и все значения y равновероятны. Последовательность xi задается рекурсивно следующим образом:
Ясно, что в конце концов появится такой индекс N для которого xi окажется равным 232-1 при всех i≥N. Найдите математическое ожидание величины N2. Результат умножьте на миллион и округлите вниз до целого. ![]()
Задачу решили:
1
всего попыток:
1
Рассмотрим пару последовательностей an и s n , заданных следующим образом: a1 = 1, s1 = 1, an = sn-1 mod n, sn = sn-1+ an×n. (Здесь и далее "x mod y" означает остаток от деления x на y.) Первые 10 элементов последовательности an: 1,1,0,3,0,3,5,4,1,9. Первые 10 элементов последовательности sn: 1,3,3,15,15,33,68,100,109,199. Обозначим через h(N,M) количество таких пар (p,q), для которых 1≤p≤q≤N и (sp + sp+1 +… + sq-1 + sq ) mod M = 0 Можно проверить, что h(10,10)=5, а соответствующие пары – (1,6), (4,5), (4,9), (6,9) и (8,8). h(104,103)= 107796. Найдите h(1012,106). ![]()
Задачу решили:
0
всего попыток:
0
На каждую клетку доски N×N положили по шашке, окрашенной в белый цвет с одной стороны и в черный цвет с другой. Каждым ходом разрешается перевернуть одну шашку, а вместе с нею N-1 шашек, стоящих на одной с ней вертикали, и N-1 шашек, стоящих на одной с ней горизонтали. Таким образом, каждым ходом игрок должен перевернуть 2×N-1 шашку. Игра заканчивается, когда все шашки будут стоять белой стороной вверх. Ниже приведен пример игры для доски 5×5.
Несложно проверить, чтобы закончить игру из данной начальной позиции, нужно как минимум 3 хода. Пусть строки и столбцы перенумерованы целыми числами от 0 до N-1. Построим на доске N×N начальную конфигурацию CN. Для этого на клетку с координатами x и y положим шашку черной стороной вверх, если (N-1)2≤x2+y2<N2, и белой стороной вверх в противном случае. Конфигурацию C5 мы видели в приведенном примере. Пусть T(N) – минимальное количество ходов, необходимых для окончания игры из начального положения CN (если это невозможно T(N) = 0). Ясно , что T(1)=T(2)=1. Мы видели, что T(5)=3. Можно проверить, что T(10)=29, а T(1000)=395253. Найдите сумму T(k!) для 1≤k≤12. ![]()
Задачу решили:
2
всего попыток:
5
Пусть a, b, c – натуральные числа, а функция F(n) определена следующим образом: ![]()
Задачу решили:
0
всего попыток:
3
Пусть a(n) – наибольший корень многочлена P(x) = x3 - 3nx2 + n, например a(2)=8,97517184... Найдите восемь младших десятичных знаков суммы ∑t(i,333333333) для i=1,2,3,...30.
(5.94338091)
![]()
Задачу решили:
10
всего попыток:
12
Возьмем натуральное число n и рассмотрим последовательность s(n)={1+n/1, 2+n/2, 3+n/3, …k+n/k,…}. Если эта последовательность не содержит целых составных чисел, будем говорить, что число n не порождает составных. ![]()
Задачу решили:
5
всего попыток:
13
В отеле "Инфинити" бесконечно много этажей, на каждом этаже бесконечно много комнат, а к администратору выстроилась бесконечно длинная очередь. И этажи, и комнаты на каждом этаже, и посетители перенумерованы подряд натуральными числами (1, 2, 3, …).
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|