В записи

  *****
+
  *****
  -------
  ****1

вместо цифр в шестнадцатиричной системе счисления стоят звездочки, при этом первое слагаемое меньше второго. Какое количество вариантов решений существует?

В каждой ячейке квадрата размера 4 на 4 записана цифра. Квадрат будем считать простым, если каждая строка (слева направо), каждый столбец (сверху вниз) и обе диагонали (слева направо) являются простыми четырехзначными числами. Сколько различных простых квадратов существует?

Начальная конфигурация головоломки Рубика "магические квадратики" выглядит так:

 Разрешены такие преобразования:

1. перестановка верхнего и нижнего рядов
2. циклический сдвиг вправо на один квадрат (при этом левый нижний квадрат перемещается вверх и становится левым верхним)
3. поворот по часовой стрелке четырех средних квадратов.

Конфигурацией головоломки называется любое положение квадратиков, которое возможно получить при помощи указанных преобразований.

За какое минимальное количество ходов можно гарантированно преобразовать произвольную конфигурацию в начальную.

В десятизначном числе N за один ход можно удалить произвольное количество цифр так, что оставшиеся цифры последовательно представляют запись простого числа (пробелы между цифрами автоматически удаляются). Найти такое минимальное N, из которого такими ходами можно получить наибольшее количество различных простых чисел.

В каждой ячейке квадрата размера 5 на 5 записана цифра. Квадрат будем считать простым, если каждая строка (слева направо), каждый столбец (сверху вниз) и обе диагонали (слева направо) являются простыми пятизначными числами. В левом верхнем углу находится цифра 3, а сумма цифр каждого простого числа равна 23. Сколько таких различных простых квадратов существует?

Определим для натурального числа n функцию S(n) равной сумме цифр в его десятичной записи. Найдите наименьшее M, такое, что среди простых чисел меньших 1000000, количество чисел для которых S(n)=M максимально.

Володя написал программу, которая складывает в столбик два числа. К сожалению, он не разобрался, как правильно переносить единицу из одного разряда в следующий. Поэтому программа стала выполняться следующим образом. Сначала она складывает последние цифры обоих чисел и записывает результат, как в случае, если он однозначный, так и в случае, если он двузначный. Затем программа складывает предпоследние цифры обоих чисел и результат сложения приписывает слева к результату предыдущего сложения. Далее процесс повторяется для всех разрядов. Если в одном числе цифр меньше, чем в другом, то программа размещает нули в соответствующих разрядах более короткого числа.
Федя хочет доказать Володе, что его способ сложения не обладает свойством ассоциативности. В частности, Федя утверждает, что существуют три числа, для которых важен порядок, в котором их складывают (при этом разрешается складывать числа в любом порядке, например можно сначала сложить первое число и последнее, а затем прибавить к ним среднее). Федя привел даже пример трех таких чисел.
Сколько существует троек чисел a, b, c, таких, что a < b < c < 1000000 и a+(b+c) < (a+b)+c.

Была исходная последовательность символов:
AAABBABB

В конец этой последовательности дописали ее копию, но развернутую зеркально (символы взяли в обратном порядке). Получилась строка:
AAABBABBBBABBAAA

Эту операцию повторили еще три раза, каждый раз дописывая в зеркальном отображении всю последовательность, полученную на предыдущем шаге. В результате получилась последовательность из 128 символов. В получившейся последовательности заменили все тройки идущих подряд символов BAB на ABA. Эту операцию повторяли до тех пор, пока тройки идущих подряд символов BAB не перестали встречаться в последовательности. Сколько букв B осталось в результирующей последовательности?

Набор домино состоит из прямоугольных костяшек, каждая из которых разделена на две половинки линией, параллельной более короткой стороне. На каждой из половинок нарисованы точки, количество которых соответствует числу от 0 до 6 включительно. На костяшках полного набора домино обозначены все возможные различные пары чисел.

Все костяшки выкладывают в "круговые" цепочки, соединяя пары костяшек короткими сторонами, если количества точек на соседних с местом соединения половинках костяшек равны, и при этом левая половинка начальной и правая половинка последней костяшки имеют одинаковое количество точек и поэтому цепочка "закругляется". Две цепочки будем считать различными, если нельзя получить одну из другой при помощи поворота или зеркального отображения.

Сколько существует различных "круговых" цепочек состоящих из всех костяшек?

Блоха запрыгнула на круглый стол для игры в "Что? Где? Когда?" незадолго до начала очередной игры. На секторах стола уже были разложены конверты с вопросами. Блоха решила заранее прочитать все вопросы, чтобы у нее было больше времени подумать над ответами.

Круглый игровой стол поделен на 10⁹ секторов, занумерованных по часовой стрелке числами от 1 до 10⁹. Блоха запрыгнула на первый сектор. С него она может либо перебежать на соседний, либо перепрыгнуть через 2 сектора (например, если стол делится на 12 секторов, то с сектора номер 1 блоха может за одно действие попасть на сектора с номерами 2, 4, 10 и 12). Блоха хочет побывать на каждом секторе ровно 1 раз и вернуться обратно на первый сектор, откуда она спрыгнет и убежит думать над вопросами. Определите, сколькими способами она сможет совершить свое путешествие. Выведите в качестве ответа количество способов по модулю 10⁹+9.