Какое наименьшее число N можно представить в виде произведения N = A?B ровно 64 способами? Произведения A?B и B?А считаются одним способом, все числа натуральные.

Рассмотрим функцию ([] означает округление вниз) и последовательность u(n), заданную следующим образом:

u(0) = 10⁹
u(n+1) = f(u(n))

Найдите u(10¹⁸).

Возьмем некоторое вещественное число x, и будем рассматривать его рациональные приближения, записывая их в виде несократимой дроби p/q.
Для данного x назовем наилучшим приближением с максимальным знаменателем d такое рациональное число r/s, для которого
1. s ≤ d
2. для любого лучшего рационального приближения p/q знаменатель q будет больше, чем d (из |x-p/q|<|x-r/s| следует q > d).
Как правило, у вещественных чисел имеется только одно наилучшее приближение с выбранным максимальным знаменателем. Однако есть и исключения. Например, число 9/40 имеет два наилучших приближения для максимального знаменателя 1/6, а именно 1/4 и 1/5. Если хотя бы для одного максимального знаменателя число имеет два различных наилучших приближения, мы будем называть такое число двойственным. Ясно, что все двойственные числа являются рациональными.
Сколько существует двойственных чисел x = p/q, 1/30 ≤ x < 1/20, у которых знаменатель q не превышает 10⁸?

Даны наборы чисел (x_n, y_n, r_n), n=1,...100, задающие окружности с центром в точке с координатами (x_n, y_n)  и радиусом r_n.  Эти числа выбираются так двухзначные числа состоящие из цифр после запятой  в записи числа π, стоящие соответственно для x_n - на n и n+1 местах,  для y_n - на n+2 и n+3 местах, и r_n - на n+4 и n+5 местах. Таким образом, x₁=14, y₁=15, r₁=92 и т.д. Найдите количество точек пересечения (включая точки касания) этих окружностей.

На рисунке изображен большой круг. Его радиус равен 10000.

Внутри большого круга изображены три светло-коричневых круга поменьше. Эти три круга и большой круг попарно касаются друг друга.

Между соприкасающимися кругами образовались четыре промежутка, в которые тоже можно вписать круги. При этом появляются новые промежутки, в которые можно вписывать круги вновь и вновь сколь угодно долго.
Найдите суммарную площадь всех построенных таким образом кругов (кроме одного исходного круга самого большого размера), радиус которых больше 1. Результат округлите до целого.

Треугольники с целыми длинами строн называются почти прямоугольными, если a²+b²=c²±1 (a≤b≤c). Сколько существут различных почти прямоугольных треугольников с периметром меньшем 10¹⁵.  

Рассмотрим числа, обладающие следующими тремя свойствами:

1. Число представимо в виде p³q², где p и q - различные простые числа (например, 72, 200, 500)
2. Число содержит подстроку "200" в своей десятичной записи (например, 200, 1200, 1202005657)
3. Изменив в десятичной записи числа одну цифру, невозможно получить простое число (например, 200, 325, 1268)

Первые два числа, удовлетворяющие всем трем условиям – это 200 и 1992008. Сумма первых двух чисел, обладающих одновременно свойствами 1, 2 и 3 равна 1992208.

Найдите сумму первых двухсот чисел, обладающих одновременно свойствами 1, 2 и 3.

Для числового множества A обозначим через sum(A) сумму его элементов.
Например, если множество B = {1,3,6,8,10,11}, то sum(B)= 1+3+6+8+10+11=39.

Вычислим суммы для всех 20 трехэлементных подмножеств множества B:
sum({1,3,6}) = 10,
sum({1,3,8}) = 12,
sum({1,3,10}) = 14,
sum({1,3,11}) = 15,
sum({1,6,8}) = 15,
sum({1,6,10}) = 17,
sum({1,6,11}) = 18,
sum({1,8,10}) = 19,
sum({1,8,11}) = 20,
sum({1,10,11}) = 22,
sum({3,6,8}) = 17,
sum({3,6,10}) = 19,
sum({3,6,11}) = 20,
sum({3,8,10}) = 21,
sum({3,8,11}) = 22,
sum({3,10,11}) = 24,
sum({6,8,10}) = 24,
sum({6,8,11}) = 25,
sum({6,10,11}) = 27,
sum({8,10,11}) = 29.
Некоторые из этих сумм встречаются несколько раз, а некоторые – лишь однажды.
Выпишем в порядке возрастания все уникальные суммы (встречающиеся ровно один раз):
10,12,14,18,21,25,27,29
Наибольшая разница между соседними числами в этой последовательности равна 4 (она встречается в последовательности дважды: 4=18-14 и 4=25-21). Обозначим найденную таким образом величину как D(A,m), где A – исходное множество, а m – количество элементов в подмножестве. Таким образом, D(B,3)=4.

Теперь рассмотрим множество S, состоящее из 120 элементов:
S = {1², 2², ... , 120²}.
Множество S имеет 96614908840363322603893139521372656 подмножеств, состоящих из 60 элементов. Найдите D(S,60) – наибольшую разность между последовательными уникальными суммами 60-элементных подмножеств множества S.

Стороны правильного треугольника ABC представляют собой зеркала, обращенные отражающей поверхностью вовнутрь. В вершинах треугольника расположены бесконечно малые щели, через которые может пройти лазерный луч.
На рисунке показан путь луча, который прошел сквозь щель в вершине C, 11 раз отразился от зеркал и вышел из треугольника через ту же вершину C. Существует всего 2 пути, по которым луч может войти и выйти через вершину C, испытав при этом 11 отражений: один – это тот, что изображен на рисунке, а другой – направленный ему навстречу.

Очевидно, что есть только одна траектория, по которой луч входит и выходит через вершину C, отразившись лишь однажды.
Существует 40 траекторий, по которым луч может пройти через вершину C, отразиться от зеркал 697 раз и выйти из треугольника через ту же вершину.
Существует 9355 траекторий, по которым луч может пройти через вершину C, отразиться от зеркал не более 700 раз и выйти из треугольника через ту же вершину.
Сколько существует траекторий, по которым луч может пройти через вершину C, отразиться от зеркал не более 100000 раз и выйти из треугольника через ту же вершину.

Рассмотрим треугольник Паскаля:

 1 
 1  1 
 1  2  1 
 1  3  3  1 
 1  4  6  4  1 
 1  5  10  10  5  1 
 1  6  15  20  15  6  1 
1  7  21  35  35  21  7  1
.........

В первых восьми его строках содержится 12 различных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 и 35.
Назовем натуральное число свободным от квадратов, если оно не кратно никакому квадрату простого числа. В первых восьми строках  треугольника Паскаля содержится 10 различных чисел, свободных от квадратов, а два числа – 4 и 20 – не свободны от квадратов.
Сколько различных чисел, свободных от квадратов, содержится в первых 500 строках треугольника Паскаля?